Лекция 6 Обучение доказательству математических предложений

1. Виды математических предложений

2. Понятие доказательства. Виды доказательств

3. Обучение доказательству как педагогическая проблема

1. Виды математических предложений

Математика, как все науки, представляет собой определенную систему суждений о математических объектах, которые называют математическими предложениями. Принадлежность предложения некоторой математической теории определяется двумя признаками: а) предложение записано (сформулировано) на языке данной теории, состоит из математических и логических терминов или символов; б) предложение истинно, то есть является исходным истинным предложением данной теории, или его истинность устанавливается доказательством. С каждым математическим предложением связаны его содержание и структура, неразрывно связанные между собой.

К основным видам математических предложений относятся аксиомы и теоремы.

Аксиома (от греческого слова, означающего «то, что приемлемо») — предложение, принимаемое без доказательства (его истинность допускается). Аксиомы конкретной математической теории образуют систему, описывающие свойства основных понятий данной теории и лежащих в основе доказательств других предложений. К системе аксиом, характеризующих некоторую научную теорию, предъявляются, как известно, требования независимости, непротиворечивости, полноты. Таким образом, основные (неопределяемые) понятия и аксиомы состовляют фундамент математической теории.

Аксиомы зародились в геометрии Евклида, который наряду с этим понятием использовал еще понятие постулата. Постулат — (от латинского - «требование») — предложение, выражающее некоторое требование, которому должно удовлетворять некоторое понятие или некоторое отношение между понятиями.

Теорема (от греческого слова, означающего «рассматриваю, обдумываю») — предложение, истинность которого доказывается, то есть устанавливается как логическое следствие других предложений, принимаемых за истинные или доказанные раньше. Каждая теорема содержит в себе условие (то, что известно о рассматриваемых в ней объектах) и заключение (то, что об этом объекте утверждается и требует доказательства). Однако не все теоремы имеют такую «условную» форму, в которой четко разграничены условие и заключение. Формулировку теоремы, не использующую слов «если..., то...», называют категорической; она отличается лаконичностью и иногда удобна, но часто вызывает затруднения и ошибки учащихся.

С помощью теорем происходит изучение понятий, их свойств, отношений между ними, что и составляет математическую теорию. Теоремы этой теории связаны между собой, истинность или ложность одних влечет за собой истинность или ложность других, что облегчает их понимание и усвоение. Эти связи основаны на рассмотренных выше операциях над высказываниями и определяют основные виды теорем в математике.

Большинство теорем представляют собой импликацию двух высказываний (АВ) (то есть имеют одно условие и одно заключение) и называются простыми теоремами. Из простой теоремы (называемой в этом случае прямой) можно образовать несколько новых: 1) обратную (ВА) — импликацию В и А, 2) противоположную (АВ) — импликацию отрицания В и отрицания А, 3) противоположную обратной (ВА) — импликацию отрицания В и отрицания А.

Если теорема имеет несколько условий, или несколько заключений, или несколько условий и заключений, то она называется сложной. Это — импликация конъюнкций высказываний, имеющая вид: АВВ...В или АА...АВ или АА...А ВВ...В. Таким образом, каждая сложная теорема может быть представлена в виде нескольких простых (например, теорема о перпендикуляре, опущенном из вершины прямого угла прямоугольного треугольника на гипотенузу).

Важные частные случаи простых и сложных теорем: 1) следствие — теорема, легко доказываемая с помощью одной теоремы; 2) лемма — теорема, представляющая интерес только как ступень к доказательству другой теоремы; 3) необходимое и достаточное условие — теорема, объединяющая в одной формулировке с использованием слов «необходимо и достаточно» прямую и обратную теоремы (АВ); 4) теорема существования — теорема, в которой отсутствуют условие и заключение, но утверждается существование какого-либо объекта, обладающего определенными свойствами (например, теорема существования параллельных прямых); 5) теорема тождество и теорема формула — теоремы, выраженные языком математических символов; 6) к теоремам можно отнести и задачи на доказательство.

2. Понятие доказательства. Виды доказательств

В математике рассматриваются дедуктивные доказательства, то есть рассуждения, основанные на утверждениях, истинность которых установлена ранее. Доказательство обосновывает общность доказываемого предложения, то есть применимость его ко всем частным случаям.

Методы доказательства теорем основываются на свойствах операций над высказываниями, которые носят название законов логики; приведем основные из них:

1) — закон силлогизма;

2) — закон контрапозиции (прямая и противоположная обратной теоремы одновременно истинны или одновременно ложны);

3) «если есть q, то есть и его основание р» — закон достаточного основания: всякая истинная мысль должна быть обоснована другими мыслями, истинность которых известна;

4) — закон тождества: каждая мысль, повторяясь в умозаключении, должна сохранять определенное устойчивое содержание;

5) — закон противоречия: не могут быть одновременно истинными две противоположные мысли об одном и том же предмете, взятом в одно и то же время и в одном и том же отношении;

6) — закон исключенного третьего: из двух противоречащих высказываний в одно и то же время и в одном и том же отношении одно непременно истинно;

7) — закон двойного отрицания.

Иногда объединяют закон противоречия и закон исключенной третьего в следующей формулировке: между противоречащими высказываниями нет ничего среднего, то есть третьего высказывания.

По способу ведения доказательства подразделяются на прямые и косвенные.

1) Доказательство большинства теорем — прямое доказательство — строится как цепь силлогизмов и основано на законе силлогизма.

2) Косвенное доказательство от противного: предполагают, что заключение теоремы неверно; затем выводят следствия из этого предположения до тех пор, пока не получится противоречие с известным предложением; тогда на основании закона противоречия делают вывод, что отрицание того, что нужно доказать, ложно и, значит, на основании закона исключенного третьего, истинно то, что требуется доказать.

3) Косвенное доказательство на основании закона контрапозиции: если доказательство данной теоремы вызывает трудности, вместо нее доказывают теорему, противоположную обратной.

4) Косвенное доказательство с помощью контрпримеров — для доказательства ложности какой-либо теоремы (часто обратной данной); чтобы убедиться в ложности суждения, достаточно привести один пример, где бы это суждение было ложным. Например, утверждение, обратное свойству ромба, «если в четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то это — ромб» ложно, так как легко построить четырехугольник, у которого диагонали перпендикулярны, а ромбом он не является.

5) Косвенное доказательство теоремы существования — указание способа конструирования примера объектов, о которых говорится в теореме.

6) Прямое доказательство теоремы тождества (или формулы) проводится одним из следующих преобразований: а) одной части равенства до тех пор, пока не получится вторая; б) обеих частей до тех пор, пока не получится верное равенство или известное тождество; в) разности частей, пока не получится нуль; г) известного тождества, пока не получится то равенство, которое нужно доказать.

При доказательстве теорем используются также координатный, векторный методы, метод геометрических преобразований и методы дифференциального и интегрального исчисления.

Дата добавления: 2014-03-01; просмотров: 783; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!