Момент импульса твердого тела

Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью w. Выделим в теле малую частицу массой Dm_i. Найдем момент импульса этой частицы относительно некоторой точки О на оси вращения z. Если радиус-вектор частицы , вектор импульса , то вектор момента импульса частицы приложен к точке О и направлен перпендикулярно к векторам и , т.е. под некоторым углом b_i к оси z. Траекторией частицы Dm_i является окружность, поэтому вектор импульса направлен по касательной к этой окружности. Следовательно, угол между векторами и равен 90⁰ (как угол между образующей и направляющей конуса). Тогда величина момента импульса частицы: .

Пусть - радиус окружности – траектории частицы. Тогда . Рассмотрим проекцию вектора момента импульса этой частицы на ось z: .

Учитывая, что , получаем: . Но . Тогда

.

Для всего тела: .

В это выражение входят параметры движения частиц, которые не зависят от положения точки О. Поэтому момент импульса тела относительно оси z не зависит от положения точки О на оси. В соотношении для величина

называется моментом инерции твердого тела относительно оси z (единица измерения кг×м²). Тогда можно записать: .

Зависимость для величины показывает, что момент инерции твёрдого тела зависит от распределения масс относительно оси вращения. Для сплошных тел суммирование можно заменить интегралом по массе тела:

.

Дата добавления: 2014-03-04; просмотров: 479; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!