Работа силы. Мощность

Теорема об изменении момента импульса материальной точки в дифференциальной форме: производная по времени от момента импульса материальной точки равна моменту силы, действующей на материальную точку.

Если действует несколько сил, то:

В проекциях на оси декартовой системы координат:

Из теоремы об изменении момента импульса материальной точки следует: если момент сил, действующих на материальную точку равен нулю , то момент импульса материальной точки сохраняется – закон сохранения момента импульса материальной точки.

Пусть некоторая сила действует на материальную точку, которая перемещается под действием этой силы.

Элементарной работой силы называют скалярное произведение силы на бесконечно малое перемещение материальной точки:

В обозначении элементарной работы использована буква δ, а не d, чтобы отметить, что в общем случае линейная функция дифференциалов координат не является полным дифференциалом какой-либо функции координат.

Определение элементарной работы показывает, что работа может быть: положительной, отрицательной, равной нулю в зависимости от угла .

Выражение для элементарной работы можно записать и в другом виде, используя, что, :

При этом мы использовали соотношение .

В декартовой системе координат:

Перейдём к определению работы на конечном перемещении. Пусть точка под действием приложенной к ней силы перемещается за некоторый промежуток времени из положения 1 в положение 2.

Разобьем участок траектории 1-2 на n элементов, каждому из которых будет соответствовать свой вектор перемещения . Когда материальная точка занимает k-тое положение на нее действует сила .

Тогда работа силы при перемещении материальной точки будет приближенно равна:

Знак означает, что сила, действующая на материальную точку при перемещении на , вообще говоря, изменяется и не равна точно силе . Работа на участке 1-2 равна:

.

Точное выражение для работы на конечном участке можно получить, если перейти к пределу при условии, что стремится к нулю:

Если сила постоянная , то величину в выражении можно вынести за знак интеграла:

Размерность работы:

Единица измерения работы:

Скалярную величину, которая определяет работу силы в единицу времени называют мощностью:

.

Размерность мощности:

Единица измерения мощности в СИ ватт:

ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ РАБОТЫ

а) РАБОТА СИЛЫ ТЯЖЕСТИ:

Пусть материальная точка движется под действием силы тяжести .

Вычислим работу силы тяжести при перемещении материальной точки из положения 1 в положение 2:

Отсюда видно, что работа силы тяжести может быть положительной, отрицательной, равной нулю.

Работа силы тяжести не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением материальной точки.

б) РАБОТА СИЛЫ УПРУГОСТИ:

Вычислим работу силы упругости, которая подчиняется закону Гука: (положение материальной точки при отсутствии силы упругости совпадает с началом системы координат).

Это соотношение показывает, что при увеличении деформации (r₂>r₁) работа силы упругости отрицательна, а при уменьшении деформации (r₂<r₁) – положительна.

В одномерном случае:

В данном примере, как и в случае силы тяжести, работа зависит только от начального и конечного положения материальной точки и не зависит от пройденного этим телом пути под действием этих сил.

в) РАБОТА СИЛЫ ТРЕНИЯ

Сила трения характерна тем, что её вектор всегда направлен в сторону противоположную движению:

, т.к. >0, то .

Вычислим работу силы трения:

, всегда <0.

Если модуль силы трения постоянен, то:

В данной формуле – путь, пройденный материальной точкой за время от t₁ до t₂. Таким образом, работа силы трения зависит от пройденного материальной точкой пути.

РАБОТА КОНСЕРВАТИВНЫХ СИЛ

Силовое воздействие одних материальных тел на другие может осуществляться при непосредственном контакте (силы трения) или на расстоянии (гравитационные, электромагнитные силы). Воздействие на расстоянии осуществляется посредством особой формы материи, называемой физическим полем. Физическими полями называют также силовыми. О силовом поле говорят, если каждой точке пространства можно поставить в соответствие силу, действующую на материальную точку. В механике Ньютона предполагается, что силовое воздействие передаётся от одного тела к другому мгновенно.

В любой точке пространства занятого силовым полем на материальную точку действует некоторая сила. Если сила, действующая на материальную точку, зависит только от положения этой точки в пространстве и не зависит от времени, то такое поле называют стационарным. Примером стационарных полей могут служить гравитационное поле Земли или поле неподвижного электрического заряда. Среди стационарных полей особый интерес представляют такие поля, для которых элементарная работа сил поля может быть найдена как бесконечно малое изменение (дифференциал) некоторой скалярной функции координат U (x, y, z). Такие поля называют потенциальными полями.

.

Полный дифференциал функции имеет вид

.

Сопоставляя записанные выражения, получаем:

Функцию U (x, y, z) называют силовой или потенциальной функцией. Ясно, что силовая функция U (x, y, z) определяется с точностью до константы. Вектор, компоненты которого представляют собой частные производные некоторые скалярной функции по координатам, называют градиентом этой функции:

Так как в потенциальном поле элементарная работа есть полный дифференциал от силовой функции , то работа при перемещении материальной точки из положения 1 в положение 2 будет равна: .

Это означает, что работа сил потенциального поля не зависит от траектории точки и от закона ее движения, а зависит только от значения силовой функции в начальном и конечном положении материальной точки и равна разности этих значений.

Если точка будет перемещаться по замкнутому пути, то работа сил потенциального поля будет равна нулю, так как координаты начального и конечного положений точки при этом совпадают:

Поэтому равенство нулю работы на замкнутом пути служит признаком потенциального поля. В частности, если сила постоянна, то она обязательно потенциальна:

, если =const.

Силы, образующие потенциальное поле, называют консервативными силами. Результат, полученный при вычислении работы силы тяжести, показывает, что работа этой силы не зависит от пути, а определяется только начальными и конечными координатами материальной точки. Это означает, что поле силы тяжести является потенциальной, а сила тяжести является консервативной силой. В результат вычисления работы силы трения явно входит длина пути материальной почки. Это значит, что сила не является консервативной.

Дата добавления: 2014-03-11; просмотров: 478; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!