Главная страница Случайная лекция Мы поможем в написании ваших работ! Порталы: БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика Мы поможем в написании ваших работ! |
Определение перемещений при поперечном изгибе интегрированием дифференциального уравнения изогнутой линии балкиИнтегрируя первый раз, получим: Разделив на жёсткость сечения , получим уравнение для углов поворота сечений: , где С первая постоянная интегрирования. Определяем из граничных условий: Для балки с одной точкой опоры (консоль) угол поворота в точке опоры равен нулю:
Для балки на двух и более опорах углы поворота в опорах будут принимать максимальные значения. Угол поворота будет равен нулю на границе между участками. Если на эпюре изгибающего момента есть вершина параболы, то можно взять значение х в том месте, где на эпюре изгибающего момента максимум:
Интегрируя уравнение для углов поворота ещё раз, получим уравнение перемещений (прогибов):
, где D вторая постоянная интегрирования. Определяем из граничных условий: Для балки с одной точкой опоры перемещение в точке опоры равно нулю:
При найденном уже значении С, можно вычислить D. Для балки с одной точкой опоры максимальное перемещение будет на свободном конце (при х=0) и будет равно: , где - жесткость сечения при изгибе. Если знак « + », перемещение направлено вверх и совпадает с направлением вверх оси оу. Если знак « - », то перемещение направлено вниз. Мы научились находить перемещение, если участок один. Граничные условия выбираются в зависимости от конструкции балки. Для балки с защемлённым концом (консоль) граничные условия будут следующие: Перемещения и угол поворота сечения будут равны нулю в точке защемления при значении расстояния х, равном длине консоли. Для балки на двух опорах значения перемещений в точках опоры, при значениях расстояний х, соответствующих точкам опоры, равняются нулю. Таким способом вычисляют значение перемещения, если количество участков в конструкции не больше двух. Недостаток в том, что интегрирование каждого участка даёт две постоянные интегрирования. Если участков два, то неизвестных постоянных интегрирования будет четыре. К двум граничным условиям (равенства нулю перемещений или углов поворота в определённых точках и при определённом значении длины), указанным выше, нужно добавить ещё два условия: плавности и непрерывности изогнутой линии балки на границе между участками. Условие плавности – углы поворота сечений на границе участков равны: ;
Условие непрерывности изогнутой линии – перемещения на границе участков одинаковы: Решить систему из четырёх уравнений, где будет четыре неизвестные постоянные интегрирования, можно определить максимальное значение перемещения.
Пример 1. Определить максимальное перемещение консольной балки, длинной l, если к свободному концу приложена нагрузка Р. Решение: Запишем приближённое дифференциальное уравнение изогнутой линии: , Проинтегрируем первый раз, получим:
, Определим значение постоянной интегрирования С из граничных условий – угол поворота в точке опоры при х=l будет равен нулю: . Интегрируем второй раз для определения перемещения:
, Определим значение D из граничных условий – перемещение в точке опоры, при х = l, будет равно нулю: , После нахождения постоянных интегрирования, определим максимальное перемещение, которое будет на краю балки, при х=0: .
Определение перемещений методом начальных параметров.
Метод начальных параметров является более удобным для балок с большим количеством участков. Суть метода начальных параметров заключается в выравнивании констант интегрирования по участкам. В результате неизвестными остаются лишь две из них:
Оставшиеся константы интегрирования имеют простой физический смысл: Для произвольной балки постоянного по длине сечения, нагруженной k моментами и m сосредоточенными силами ,включая реакции опор, а также n равномерно-распределёнными нагрузками уравнения углов поворота и прогибов записываются одним уравнением сразу для всей балки (для всех участков)
где -координата сечения, где приложена i сосредоточенный момент ; -координата сечения, где приложена i сосредоточенная сила ; - координаты начала и конца i равномерно - распределённой нагрузки. Двойные чёрточки у каждого из слагаемых показывают, при каком условии данное слагаемое включается в вычисления, а именно при определении прогибов и углов поворота в произвольном сечении с координатой – х. В выше приведённых уравнениях удерживаются только те слагаемые, которые учитывают нагрузки, приложенные к балке левее рассматриваемого сечения. В уравнениях метода начальных параметров принято следующее правило знаков для внешних нагрузок: ,если он направлен почасовойстрелке; > 0 и > 0, если они направлены вверх.
Пример 2. Определить углы поворота сечений в точках А и В, максимальное перемещение балки, расположенной на двух опорах методом начальных параметров. Длина балки l = а + в. На границе участков приложена нагрузка Р.
Для определения опорных реакций составляем уравнения равновесия: SХi= Rвх = 0
Проверка: SУi= RАУ + RBУ – Р = 0
Для решения применяем метод начальных параметров. Определяем с помощью граничных условий следующие неизвестные: Для балки, расположенной на двух опорах, перемещения в точках А и В равны нулю, поэтому два граничных условия имеют следующий вид: Перемещения в точках А и В равны нулю. Для определения прогиба начального сечения и угла поворота начального сечения воспользуемся уравнением перемещений и граничными условиями.
Уравнение перемещений для любого сечения:
Используя начальные условия:
Определяем из выше указанного уравнения: Подставим в уравнение найденное ранее значение , учитывая, что l = а + в, после упрощений, получим: Начальный угол поворота или угол поворота сечения в точке А равен:
Знак « - » означает поворот угла по часовой стрелке.
Определим перемещение в точке С -
Подставим в уравнение значение и получим:
Перемещение в точке С:
Знак « - » означает перемещение вниз. Определим угол поворота конечного сечения
Для этого воспользуемся формулой для угла поворота метода начальных параметров:
После подстановки значения и упрощений, получим:
Угол поворота сечения точки В равен:
Знак « + » означает поворот угла против часовой стрелки.
Дата добавления: 2014-03-13; просмотров: 1271; Нарушение авторских прав Мы поможем в написании ваших работ! |