Оценка существенности параметров линейной регрессии и корреляции

Функция издержек

Десять основных направлений создания сильного бренда.

Пример.Рассматривается функция издержек .

Система нормальных уравнений будет иметь вид:

получим: .

Уравнение регрессии: .

Величина параметра а не имеет экономического смысла.

; ; ;

; ; .

соответствует опережению изменения результата над изменением фактора: .

Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции :

(2.9)

.

Если , то . Если то .

По табл. 2.1 , что достаточно близко к 1 и означает наличие очень тесной зависимости затрат на производство от величины объема выпущенной продукции.

Величина оценивает тесноту связи рассматриваемых признаков в ее линейной форме. Поэтому близость абсолютной величины к нулю еще не означает отсутствие связи между признаками.

Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции , называемый коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака у, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

(2.10)

Величина характеризует долю дисперсии, вызванную влиянием остальных не учтенных в модели факторов.

В нашем примере . Следовательно, уравнением регрессии объясняется дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходится лишь ее дисперсии (т.е. остаточная дисперсия).

После нахождения уравнения линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров.

Оценка значимости уравнения регрессии дается с помощью F-критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза, что коэффициент регрессии , следовательно, фактор не оказывает влияния на результат .

Для расчета -критерия предшествует анализ дисперсии. Центральное место в нем занимает разложение общей суммы квадратов отклонений переменной от среднего значения на две части - «объясненную» и «необъясненную»:

(2.11)

Любая сумма квадратов отклонений связана с числом степеней свободы df. Число степеней свободы связано с числом единиц совокупности n и с числом определяемых по ней констант. Для общей суммы квадратов требуется независимых отклонений, ибо по совокупности из единиц после расчета среднего уровня свободно варьируют лишь число отклонений.

При расчете объясненной (факторной) суммы квадратов используются теоретические (расчетные) значения результативного признака , найденные по линии регрессии: .

В линейной регрессии .

Поскольку при заданном объеме наблюдений по и факторная сумма квадратов при линейной регрессии зависит только от одной константы коэффициента регрессии , то данная сумма квадратов имеет одну степень свободы.

Число степеней свободы остаточной суммы квадратов при линейной регрессии составляет . Итак, имеем два равенства:

(2.12)

.

Разделив каждую сумму квадратов на соответствующее ей число степеней свободы, получим средний квадрат отклоненийили дисперсию на одну степень свободы D.

;

;

.

Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину -критерий:

. (2.13)

где –критерий для проверки нулевой гипотезы : .

Если нулевая гипотеза справедлива, то факторная и остаточная дисперсии не отличаются друг от друга. Для необходимо опровержение, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную в несколько раз. Английским статистиком Снедекором разработаны таблицы критических значений F-отношений при разных уровнях существенности нулевой гипотезы и различном числе степеней свободы. Если , то нулевая гипотеза об отсутствии связи признаков отклоняется и делается вывод о существенности этой связи. отклоняется.

Если , то вероятность нулевой гипотезы выше заданного уровня (например 0,05) и она не может быть отклонена без серьезного риска сделать неправильный вывод о наличии связи. В этом случае уравнение регрессии считается статистически незначимым. не отклоняется.

В нашем примере:

- общая сумма квадратов;

- факторная сумма квадратов;

- остаточная сумма квадратов;

;

;

;

.

Поскольку как при 1%-ном, так и при 5%-ном уровне значимости, то можно сделать вывод о значимости уравнения регрессии (связь доказана).

Величина F-критерия связана с коэффициентом детерминации . Факторную сумму квадратов отклонений можно представить:

Остаточную сумму квадратов: .

Тогда значение -критерия можно выразить:

(2.14)

В нашем примере . Тогда (несовпадение с предыдущим результатом объясняется ошибками округления).

Оценка значимости уравнения регрессии обычно дается в виде таблицы дисперсионного анализа (табл. 2.2).

В линейной регрессии обычно оценивается значимость не только уравнения в целом, но и отдельных его параметров. Для этого по каждому из параметров определяется его стандартная ошибка: и .

Стандартная ошибка коэффициента регрессии определяется по формуле:

, (2.15)

где – остаточная дисперсия на одну степень свободы.

Для нашего примера: .

Величина стандартной ошибки совместно с t-распределением Стьюдента при степенях свободы применяется для проверки существенности коэффициента регрессии и для расчета его доверительных интервалов.

Для оценки существенности коэффициента регрессии его величина сравнивается с его стандартной ошибкой, т.е. определятся фактическое значение t-критерия Стьюдента: , которое затем сравнивается с табличным значением при определенном уровне значимости и числе степеней свободы .

В примере: .

Этот же результат получим, если или .

При и числе степеней свободы 5 табличное значение . Так как фактическое значение -критерия превышает табличное, то гипотезу о несущественности коэффициента регрессии можно отклонить. Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как . Для коэффициента регрессии в примере -ные границы составят:

,

т.е. .

Доверительные границы интервала для коэффициента регрессии не должны содержать противоречивых результатов, например, . Такого рода запись указывает, что истинное значение коэффициента регрессии одновременно содержит положительные и отрицательные величины и даже ноль, чего не может быть.

Стандартная ошибка параметра определяется по формуле: (2.16)

,его величина сравнивается с табличным значением при степенях свободы.

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе величины ошибки коэффициента корреляции :

(2.17)

Фактическое значение t-критерия Стьюдента определяется как

(2.18)

Данная формула свидетельствует, что в парной линейной регрессии .Кроме того, . Следовательно, .

Таким образом, проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.

В рассматриваемом примере не совпало с в результате ошибок округлений. Величина значительно превышает табличное значение при . Следовательно, коэффициент корреляции существенно отличен от нуля и зависимость является достоверной.

Рассмотренная формула оценки коэффициента корреляции рекомендуется к применению при большом числе наблюдений и если не близко к или .

Дата добавления: 2014-03-22; просмотров: 749; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!