ЛЕКЦИЯ 4 Примеры кинематического анализа плоских рычажных механизмов

Рассмотрим примеры построения планов положений, скоростей и ускорений различных плоских механизмов: кривошипно-ползунного, шарнирного четырёхзвенника, кулисного и механизма с качающимся цилиндром.

Пример 1.Кривошипно-ползунный механизм.

Схема механизма изображена на рис. 4.1. Размеры звеньев: l_ОА = 0,2 м, l_АВ = 0,6 м, l_АС = l_СВ = 0,4 м, l_АS = 0,2 м, угол j = 150^о. Начальное звено 1 вращается равномерно с угловой скоростью w₁ = 20 рад/с.

Построение плана положений механизма

Для построения плана положений механизма выберем масштабный коэффициент µ_l таким, чтобы длина отрезка ОА, изображающего начальное звено, была равна 20 мм, т.е. примем ОА = 20 мм.

Тогда µ_l = l_ОА / ОА = 0,2/20 = 0,01 м/мм.

Определим длины отрезков, изображающих на чертеже другие звенья механизма:

АВ = l_АВ / µ_l = 0,6 / 0,01 = 60 мм;

АС = l_АС / µ_l = 0,4 / 0,01 = 40 мм;

СВ = АС = 40 мм,

AS = l_АS / µ_l = 0,2 / 0,01 = 20 мм.

Методом засечек построим на рис. 4.1 план положений механизма.

Построение плана скоростей механизма

Определим скорость точки А:

V_A = l_ОА × w₁ = 0,2 × 20 = 4 м/с.

Для построения плана скоростей выберем масштабный коэффициент µ_V таким, чтобы длина отрезка ра, изображающего векторскорости `V_A точки А, была равной 40 мм, т.е. примем ра = 40 мм.

Тогда µ_V = V_A / ра = 4 / 40 = 0,1 (м/с)/мм.

Изобразим на рис. 4.1 вектор `ра, перпендикулярный ОА, учитывая направление вращения звена 1. Вектор `ра изображает скорость`V_A точки А.

Движение звена 2 разложим на переносное, поступательное движение вместе с точкой А и относительное вращение вокруг точки А.

Скорость точки В определяется векторной суммой

`V<sub>B</sub> = `V_A +`V_BA ,

//х ^ОА ^АВ

где `V_A - скорость точки А (направлена перпендикулярно ОА);

`V_BA - скорость точки В при вращении звена 2 вокруг точки А (направлена перпендикулярно АВ);

`V_B – вектор скрости точки В, направлен параллельно направляющей оси х.

Векторное уравнение, связывающее скорости точек, решаем графическим способом. Через точку а, которая является концом вектора `ра, проведём прямую a, перпендикулярную АВ. Через точку р проведём прямую b, параллельную оси х. Точка пересечения прямых a и b даст конец вектора `рb, который изображает скорость`V<sub>В</sub> точки В. Вектор`аb изображает относительную скорость`V_BA.

На отрезке ab построим треугольник abc, подобный треугольнику ABC плана положений. Причём каждая из сторон треугольника abc перпендикулярна соответствущей стороне треугольника ABC. Через точку а проведём прямую линию перпендикулярную АС, а через точку b – прямую, перпендикулярную BC. Точка пересечения этих прямых даст точку с.

Определим на плане скоростей точку s, используя свойство подобия планов.

где as и ab – длины отрезков на плане скоростей;

AS и АВ – длины отрезков на плане положения.

Построенная таким образом фигура представляет собой план скоростей механизма.

Определим скорости точек по величине:

V_B = pb × µ_V =15× 0,1=1,5 м/с;

V_BA = ab × µ_V =35× 0,1=3,5 м/с.

Определим угловую скорость звена 2 по величине.

w₂ = V_BA / l_AB = 3,5 / 0,6 = 5,8 рад/с.

Направление угловой скорости w₂звена 2 определяется направлением относительной скорости `V_BA (см. схему на рис. 4.1).

Построение плана ускорений механизма

Определим ускорение точки А. Так как угловая скорость звена 1 задана постоянной, то ускорение точки А равно нормальному ускорению, т.е.

а_А = аⁿ_А = l_ОА × w²₁ = 0,2 × 20² = 80 м / с².

Для построения плана ускорений выберем масштабный коэффициент µ_а таким, чтобы длина отрезка pа, изображающего вектор ускорения точки А, была равной 40 мм, т.е. примем pа = 40 мм.

Тогда µ_а = а_A / pа = 80 / 40 = 2 (м / с²) / мм.

Изобразим на рис. 4.1 вектор `pа, направленный от точки А к центру вращения О звена 1. Вектор`pа изображаетускорение`а_A точки А.

Ускорение точки В определяется векторной суммой:

`а<sub>B</sub> = `а_A +`а<sup>n</sup><sub>BA</sub> +`а^t_BA ,

//х ÝАО ÝBА ^АВ

где`а<sup>n</sup><sub>BA</sub> и`а^t_BA - нормальное и тангенциальное ускорения точки В при вращении звена вокруг точки А (`а<sup>n</sup><sub>BA</sub> направлено от точки В к точке А, `а^t_BA – перпендикулярно АВ).

Определим нормальное ускорение `аⁿ_BA по величине.

аⁿ_BA =V²_BA / l_АВ = 3,5² / 0,6 = 20,4 м/с².

Определим длину отрезка an, изображающего ускорение `аⁿ_BA на чертеже.

an = аⁿ_BA / µ_а = 20,4 / 2 = 10,2 мм.

Векторное уравнение, связывающее ускорения точек, решим графическим способом. Проведём вектор`an с началом в точке а, направленный из точки В в точку А.Через точку n проведём прямую a, перпендикулярную АВ, а через точку p – прямую b, параллельную оси х.Точка пересечения прямых a и b даст конец вектора`pb, который изображает ускорение`а<sub>В</sub> точки В. Вектор `nb, перпендикулярный АВ, изображает тангенциальное ускорение `а^t_BA . Точки а и b соединим прямой линией.На отрезке ab построим треугольник abc, подобный треугольнику ABC плана положений. При этом направление обхода по контуру abс на плане ускорений должно совпадать с направлением обхода по контуру ABС плана положений.

Определим на плане ускорений точку s, используя свойство подобия планов.

где as и ab – длины отрезков на плане ускорений;

AS и AB - длины отрезков на плане положений.

Построенная таким образом фигура представляет собой план ускорений механизма.

Определим ускорения точек по величине:

а_B = pb × µ_а =23 × 2 = 46 м/с²;

а^t_BA = nb × µ_а =20 × 2 = 40 м/с².

Определим угловое ускорение звена 2 по величине:

e₂ = а^t_BA / l_AB = 40 / 0,6 = 66,7 рад / с².

Направление углового ускорения e₂звена 2 определяется направлением тангенциального ускорения `а^t_BA (см. схему на рис. 4.1).

Пример 2. Шарнирный четырёхзвенный механизм.

Схема механизма изображена на рис. 4.2. Размеры звеньев: l_ОА = 0,2 м, l_ОС = 0,7 м, l_АВ = 0,4 м, l_ВС = 0,4 м, l_АD = l_ВD = 0,25 м, l_АS = 0,1 м. Угол j = 120^о. Начальное звено 1 вращается равномерно с угловой скоростью w₁ = 20 рад/с.

Построение плана положений механизма

Для построения плана положений механизма выберем масштабный коэффициент µ_l таким, чтобы длина отрезка ОА, изображающего начальное звено 1, была равна 20 мм, т.е. примем ОА = 20 мм.

Тогда µ_l = l_ОА / ОА = 0,2/20 = 0,01 м/мм.

Определим длины отрезков, изображающих на чертеже другие звенья механизма:

ОС = l_ОС / µ_l = 0,7 / 0,01 = 70 мм;

АВ = l_АВ / µ_l = 0,4 / 0,01 = 40 мм;

ВС = l_ВС / µ_l = 0,4 / 0,01 = 40 мм;

АD = l_АD / µ_l = 0,25 / 0,01 = 25 мм;

BD = АD = 25 мм;

AS = l_АS / µ_l = 0,1 / 0,01 = 10 мм.

Методом засечек построим на рис. 4.2 план положений механизма.

Построение плана скоростей механизма

Определим скорость точки А:

V_A = l_ОА × w₁ = 0,2 × 20 = 4 м/с.

Для построения плана скоростей выберем масштабный коэффициент µ_V таким, чтобы длина отрезка ра, изображающего вектор скорости `V_A точки А, была равной 40 мм, т.е. примем ра = 40 мм.

Тогда µ_V = V_A / ра = 4 / 40 = 0,1 (м/с)/мм.

Изобразим на рис. 4.2 вектор `ра, перпендикулярный ОА, учитывая направление вращения звена 1. Вектор `ра изображает скорость`V_A точки А.

Движение звена 2 разложим на переносное, поступательное движение вместе с точкой А и относительное вращение вокруг точки А.

Скорость точки В определяется векторной суммой

`V<sub>B</sub> = `V_A +`V_BA ,

^ВC ^ОА ^АВ

где `V_A - скорость точки А (направлена перпендикулярно ОА);

`V_BА - скорость точки В при вращении звена 2 вокруг точки А (направлена перпендикулярно АВ);

`V_B – вектор скорости точки В, направлен перпендикулярно ВС.

Векторное уравнение, связывающее скорости точек, решаем графическим способом. Через точку а, которая является концом ветора`ра, проведём прямую a, перпендикулярную АВ. Через точку р проведём прямую b, перпендикулярную ВС. Точка пересечения прямых a и b даст конец вектора

`рb, который изображает скорость`V_В точки В. Точки а и b соединим прямой линией. Вектор `аb изображает скорость`V_BA .

На отрезке ab построим треугольник abd, подобный треугольнику ABD плана положений. Причём каждая из сторон треугольника abd на плане скоростей перпендикулярна соответствующей стороне треугольника ABD плана положений. Через точку а проведём прямую линию, перпендикулярную АD, а через точку b – прямую, перепендикулярную BD. Точка пересечения этих прямых даст точку d.

Определим точку s, используя свойство подобия планов.

где as и ab – длины отрезков на плане скоростей;

AS и AB – длины отрезков на плане положений.

Построенная таким образом фигура представляет собой план скоростей механизма.

Определим по величине скорости точек.

V_B = pb × µ_V =24× 0,1=2,4 м/с.

V_BA = ab × µ_V =36× 0,1=3,6 м/с.

Определим по величине угловые скорости звеньев 2 и 3.

w₂ = V_BA / l_AB = 3,6 / 0,4 = 9 рад/с,

w₃ = V_B / l_BC = 2,4 / 0,4 = 6 рад/с.

Направления угловых скоростей w₂и w₃определяются направлениями относительных скоростей `V<sub>BA</sub> и `V_B соответственно (см. схему на рис. 4.2).

Построение плана ускорений механизма

Определим ускорение точки А. Так как угловая скорость звена 1 задана постоянной, то ускорение точки А равно нормальному ускорению, т.е. а_А = аⁿ_А = l_ОА × w²₁ = 0,2 × 20² = 80 м/с².

Для построения плана ускорений выберем масштабный коэффициент µ_а таким, чтобы длина отрезка pа, изображающего вектор ускорения точки А, была равной 40 мм, т.е. примем pа = 40 мм.

Тогда µ_а = а_A / pа = 80 / 40 = 2 (м/с²)/мм.

Изобразим на рис. 4.2 вектор `pа, направленный от точки А к центру вращения О звена 1. Вектор`pа изображаетускорение`а_A точки А.

Ускорение точки В определяется векторной суммой:

`а<sub>B</sub> = `а_A +`а<sup>n</sup><sub>BA</sub> +`а^t_BA ,

ÝАО ÝBА ^АВ

где`а<sup>n</sup><sub>BA</sub> и`а^t_BA - нормальное и тангенциальное ускорения точки В при вращении звена вокруг точки А (`а<sup>n</sup><sub>BA</sub> направлено от точки В к точке А, `а^t_BA – перпендикулярно АВ).

Точка B лежит на звене 3, которое вращается вокруг неподвижного центра С. Ускорение точки B при этом определяется векторной суммой:

`а<sub>B</sub> = `а_С +`а<sup>n</sup><sub>BС</sub> +`а^t_BС ,

=0 ÝBС ^ВС

где`а_С – ускорение точки С (равно нулю);

`а<sup>n</sup><sub>BС</sub> и`а^t_BС - нормальное и тангециальное ускорения точки В при вращении звена 3 вокруг точки С (`а<sup>n</sup><sub>BС</sub> направлено от точки В к точке С, `а^t_BС – перпендикулярно ВС).

Векторные уравнения, связывающие ускорения точек, решим графическим способом.

Определим нормальные ускорения `а<sup>n</sup><sub>BA</sub> и`аⁿ_BС по величине:

аⁿ_BA = V²_BA / l_АВ =3,6² / 0,4 =32,4 м/с²;

аⁿ_BС = V²_BС / l_ВС =2,4² / 0,4 = 14,4 м/с².

Здесь V_BС = V_B = 2,4 м/с.

Определим длину отрезков an₁ и cn₂,изображающих нормальные ускорения `а<sup>n</sup><sub>BA</sub> и`аⁿ_BС , соответственно, на чертеже:

an₁ = аⁿ_BA / µ_а = 32,4 / 2 = 16,2 мм;

сn₂ = аⁿ_BС / µ_а =14,4 / 2 = 7,2 мм.

Графическое решение векторных уравнений сводится к следующим построениям.

Проведём вектор`an<sub>1</sub> с началом в точке а, направленный из точки В в точку А.Через точку n<sub>1</sub> проведём прямую a, перпендикулярную АВ. Проведём вектор`сn₂ с началом в точке с, направленный из точки В в точку С. Точка с совпадает с полюсом p, так как ускорение точки С равно нулю.Через точку n₂ проведём прямую b, перпендикулярную ВС. Точка пересечения прямых a и b даст конец вектора `pb, который изображает ускорение`а_В точки В. Вектор `n<sub>1</sub>b, перпендикулярный АВ, изображает тангенциальное ускорение`а^t_BA. Вектор`n<sub>2</sub>b, перпендикулярный ВС, изображает тангенциальное ускорение `а^t_BС. Точки а и b соединим прямой линией.На отрезке ab построим треугольник abd, подобный треугольнику ABD плана положений. При этом направление обхода по контуру abd на плане ускорений должно совпадать с направлением обхода по контуру ABD плана положения.

Длины сторон треугольника abd определим из соотношений

bd = ad = 11,25 мм,

где ad, аb, bd – длины отрезков на плане ускорений;

AD и AB и ВD – длины отрезков на плане положения.

Определим на плане ускорений точку s, используя свойство подобия планов.

где as и ab – длины отрезков на плане ускорений;

AS и AB – длины отрезков на плане положений.

Построенная таким образом фигура представляет собой план ускорений механизма.

Определим ускорения точек по величине:

а_B = pb × µ_а = 50 × 2 = 100 м/с²,

а^t_BA = n₁b × µ_а = 5 × 2 = 10 м/с²,

а^t_BС = n₂b × µ_а = 49 × 2 = 98 м/с².

Определим угловые ускорения e₂и e₃звеньев 2 и 3 по величине:

e₂ = а^t_BA / l_AB = 10 / 0,4 = 25 рад/с²;

e₃ = а^t_BС / l_BС = 98 / 0,4 = 245 рад/с².

Направления угловых ускорений e₂ и e₃ звеньев 2 и 3 определяются направлениями тангенциальных ускорений `а<sup>t</sup><sub>BA</sub> и `а^t_BС , соответственно (см. схему на рис. 4.2).

Пример 3.Кулисный механизм.

Схема механизма изображена на рис. 4.3. Размеры звеньев: l_ОА = 0,2 м, l_ОВ = 0,5 м, l_СВ = 0,8 м, l_СD = 0,25 м, угол j = 60^о. Начальное звено 1 вращается равномерно с угловой скоростью w₁ = 20 рад/с.

Введём в рассмотрение точку А₃, принадлежащую кулисе 3 и совпадающую с точкой А кулисного камня 2.

Построение плана положений механизма

Для построения плана положений механизма выберем масштабный коэффициент µ_l таким, чтобы длина отрезка ОА, изображающего начальное звено, была равна 20 мм, т.е. примем ОА = 20 мм.

Тогда µ_l = l_ОА / ОА = 0,2/20 = 0,01 м/мм.

Определим длины отрезков, изображающих на чертеже другие звенья механизма:

ОВ = l_ОВ / µ_l = 0,5 / 0,01 = 50 мм;

СВ = l_СВ / µ_l = 0,8 / 0,01 = 80 мм;

СD = l_СD / µ_l = 0,25 / 0,01 = 25 мм.

Определим расстояние между точками А₃ и В кулисы 3:

l_А3,В = А₃В× µ_l = 60 × 0,01 = 0,6 м,

где А₃В – длина отрезка на плане положений механизма.

На рис. 4.3 построим план положений механизма. Сначала построим положения неподвижных опор О и В, затем положение начального звена ОА под углом j = 60^ок прямой ОВ, затем положение кулисы 3.

Построение плана скоростей механизма

Определим скорость точки А.

V_A = l_ОА × w₁= 0,2 × 20 = 4 м/с.

Для построения плана скоростей выберем масштабный коэффициент µ_V таким, чтобы длина отрезка ра, изображающего вектор скорости точки А, была равной 40 мм, т.е. примем ра = 40 мм.

Тогда µ_V = V_A / ра = 4 / 40 = 0,1 (м/с)/мм.

Изобразим на рис. 4.3 вектор `ра, перпендикулярный ОА, учитывая направление вращения звена 1. Вектор `ра изображает скорость`V_A точки А.

Движение кулисы 3 разложим на переносное движение вместе со звеном 2 и движение скольжения относительно звена 2.

Скорость точки А₃определяется векторной суммой

`V<sub>А3</sub> = `V_A +`V_A3,А,

^А₃В ^ОА //А₃В

где`V_А3– вектор скорости точки А₃(направлен перпендикулярно к А₃В);

`V_A - скорость точки А (направлена перпендикулярно ОА);

`V_A3,А - скорость точки А₃при скольжении кулисы 3 относительно звена 2 (направлена параллельно А₃В).

Векторное уравнение, связывающее скорости точек, решаем графическим способом. Через точку а, которая является концом ветора `ра, проведём прямую a, параллельную А<sub>3</sub>В, а через точку р проведём прямую b, перпендикулярную А<sub>3</sub>В. Точка пересечения прямых a и b даст конец вектора `ра₃, который изображает скорость`V<sub>А3</sub> точки А<sub>3</sub>. Вектор `аа₃ изображает скорость`V_A3,А. Так как скорость точки В механизма равна нулю, то соответствующая ей точка b на плане скоростей совпадает с полюсом р.

Определим на плане скоростей точку с, используя свойство подобия планов:

где bc и ba₃ – длины отрезков на плане скоростей;

BC и BА₃ – длины отрезков на плане положения.

На отрезке bс построим треугольник bсd, подобный треугольнику BСD плана положений. Причём каждая из сторон треугольника bсd перпендикулярна соответствующей стороне треугольника BСD. Через точку с проведём прямую линию, перпендикулярную СD, а через точку b – прямую, перпендикулярную BD. Точка пересечения этих прямых даст точку d.

Построенная таким образом фигура представляет собой план скоростей механизма.

Определим скорости точек по величине:

V_А3 = pа₃ × µ_V =30× 0,1= 3 м/с;

V_A3,А = аa₃ × µ_V =28× 0,1=2,8 м/с;

V_A3,B = V_А3 = 3 м/с.

Определим угловую скорость w₃звена 3 по величине:

w₃ = V_A3,B / l_A3B = 3 / 0,6 = 5 рад/с.

Угловые скорости звеньев 2 и 3 одинаковы, так как звенья 2 и 3 образуют между собой поступательную пару, т.е. w₂ =w₃.

Направление угловой скорости w₃звена 3 определяется направлением относительной скорости `V_A3,B (см. схему на рис. 4.3).

Построение плана ускорений механизма

Определим ускорение точки А. Так как угловая скорость звена 1 задана постоянной, то ускорение точки А равно нормальному ускорению, т.е. а_А = аⁿ_А = l_ОА × w²₁ = 0,2 × 20² = 80 м/с².

Для построения плана ускорений выберем масштабный коэффициент µ_а таким, чтобы длина отрезка pа, изображающего вектор ускорения `а_A точки А, была равной 40 мм, т.е. примем pа = 40 мм.

Тогда µ_а = а_A / pа = 80 / 40 = 2 (м/с²)/мм.

Изобразим на рис. 4.3 вектор `pа, направленный от точки А к центру вращения О звена 1. Вектор`pа изображаетускорение`а_A точки А.

В полюс p плана ускорений поместим точку b, так как ускорение точки В равно нулю.

Ускорение точки А₃ определяется векторной суммой

`а<sub>А3</sub> = `а_A +`а<sup>k</sup><sub>A3,А</sub> +`а^r_A3,А,

ÝАО ^А₃,В // А₃,В

где `а^k_A3,А - ускорение Кориолиса;

`а^r_A3,А - ускорение скольжения точки А₃относительно точки А, (направлено параллельно А₃,В).

Точка А₃ лежит на звене 3, которое вращается вокруг неподвижного центра В. Ускорение точки А₃ определяется при этом векторной суммой

`а <sub>А3</sub> = `а_В +`а<sup>n</sup><sub>A3,B</sub> +`а^t_A3,B ,

= 0 ÝА₃B ^ А₃B

где `а_В - ускорение точки В (равно нулю);

`а<sup>n</sup><sub>A3,B</sub> и`а^t_A3,B - нормальное и тангенциальное ускорения точки А₃ при вращении звена 3 вокруг точки В (`а<sup>n</sup><sub>A3,B</sub> направлено от точки А<sub>3</sub> к точке В, `а^t_A3,B – перпендикулярно А₃В).

Векторные уравнения, связывающие ускорения точек, решим графическим способом.

Определим ускорение Кориолиса по величине.

а^k_A3,А = 2 × w₂ × V_A3,A = 2 × 5 × 2,8 = 28 м/с².

Определим нормальное ускорение `аⁿ_A3,В по величине:

аⁿ_A3,В = V²_A3,В / l_А3В = 3² / 0,6 = 15 м/с².

Определим длины отрезков ak и bn,изображающих ускорение Кориолиса `а<sup>k</sup><sub>A3,А</sub> и нормальное ускорение `аⁿ_A3,В соответсвенно на чертеже:

ak = а^k_A3,А / µ_а =28 / 2 = 14 мм;

bn = аⁿ_A3,В / µ_а =15 / 2 = 7,5 мм.

Определим направление ускорения Кориолиса. Для этого повернём вектор относительной скорости `V<sub>A3,A</sub> на 90<sup>о</sup>в сторону переносной угловой скорости w<sub>2</sub> (см. схему на рис. 4.3). Полученное направление даст направление вектора ускорения `а^k_A3,А.

Графическое решение векторных уравнений сводится к следующим построениям.

Проведём вектор`ak с началом в точке а. Через точку k проведём прямую a, параллельную А<sub>3</sub>В. Проведём вектор`bn с началом в точке b, совпадающей с полюсом p, и направленный из точки А₃ в точку В. Через точку n проведём прямую b, перпендикулярную А₃В. Точка пересечения прямых a и b даст конец вектора `pа<sub>3</sub>, который изображает ускорение `а_А3 точки А₃. Вектор `ka<sub>3</sub> изображает ускорение относительного скольжения `а^r_A3,А . Вектор`nа<sub>3</sub> изображает тангенциальное ускорение `а^t_A3,В. Точки а₃ и b соединим прямой линией.

Определим положения точек с и d, используя свойство подобия планов.

где bc, ba₃ и cd – длины отрезков на плане ускорений;

BC, BА₃и CD – длины отрезков на плане положений.

На отрезке bс плана ускорений построим треугольник bсd, подобный треугольнику BСD плана положений. При этом направление обхода по контуру bсd на плане ускорений должно совпадать с направлением обхода по контуру BСD плана положений.

Определим ускорения точек по величине:

а_А3 = pа₃ × µ_а = 17× 2 = 34 м/с²;

а^t_A3,В = nа₃ × µ_а = 15× 2 =30 м/с².

Определим угловые ускорения звеньев 2 и 3 по величине:

e₃ = а^t_A3,В / l_A3B = 30 / 0,6 = 50 рад/с².

Звенья 2 и 3 образуют поступательную пару между собой, поэтому e₂ = e₃ как по величине, так и по направлению. Направление углового ускорения e₃ определяется направлением тангенциального ускорения `а^t_A3,В (см. схему на рис. 4.3).

Пример 4.Механизм с качающимся цилиндром.

Схема механизма изображена на рис. 4.4. Размеры звеньев: l_ОА = 0,2 м, l_ОВ = 0,6 м, l_АС = 0,6 м, l_СD = 0,2 м.Угол j = 30^о. Начальное звено 1 вращается равномерно с угловой скоростью w₁ = 20 рад/с.

Введём в рассмотрение точку В₂, принадлежащую звену 2 и совпадающую с точкой В звена 3.

Построение плана положения механизма

Для построения плана положений механизма выберем масштабный коэффициент µ_l таким, чтобы длина отрезка ОА, изображающего начальное звено, была равна 20 мм, т.е. примем ОА = 20 мм.

Тогда µ_l = l_ОА / ОА = 0,2/20 = 0,01 м/мм.

Определим длины отрезков, изображающих на чертеже другие звенья механизма:

ОВ = l_ОВ / µ_l = 0,6 / 0,01 = 60 мм;

АС = l_АС / µ_l = 0,6 / 0,01 = 60 мм;

СD = l_СD / µ_l = 0,2 / 0,01 = 20 мм.

Определим расстояние l_AB2между точками А и B₂ звена 2:

l_AB2 = АВ₂ × µ_l =45× 0,01=0,45 м,

где АВ₂ - длина отрезка на плане положений.

На рис. 4.4 построим план положений механизма. Сначала построим положения неподвижных опор О и В, затем положение начального звена ОА под углом j = 30^о к прямой ОВ, затем положение шатуна 2.

Построение плана скоростей механизма

 

Определим скорость точки А:

V_A = l_ОА × w₁ = 0,2 × 20 = 4 м/с.

Для построения плана скоростей выберем масштабный коэффициент µ_V таким, чтобы длина отрезка ра, изображающего вектор скорости `V_A точки А, была равной 40 мм, т.е. примем ра = 40 мм.

Тогда µ_V = V_A / ра = 4 / 40 = 0,1 (м/с)/мм.

Изобразим на рис. 4.4 вектор `ра, перпендикулярный ОА, учитывая направление вращения звена 1. Вектор `ра изображает скорость`V_A точки А. В точку р поместим точку b, так как скорость точки В звена 3 равна нулю.

Движение звена 2 разложим на переносное, поступательное движение вместе с точкой А и относительное вращение вокруг точки А.

Скорость точки В₂определяется векторной суммой

`V<sub>B2</sub> = `V_A +`V_B2,A,

^ОА ^АВ₂

где `V_A - скорость точки А (направлена перпендикулярно ОА);

`V_B2,A - скорость точки В₂при вращении звена 2 вокруг точки А (направлена перпендикулярно АВ₂).

С другой стороны, движение звена 2 разложим на переносное движение вместе со звеном 3 и движение скольжения относительно звена 3.

Скорость точки В₂ определяется векторной суммой

`V<sub>В2</sub> = `V_В +`V_В2,В,

= 0 //АВ₂

где `V_В - скорость точки В (равна нулю);

`V_В2,В - скорость скольжения точки В₂относительно точки В (направлена параллельно АВ₂).

Векторные уравнения, связывающие скорости точек решаем графическим способом. Через точку а, которая является концом вектора `ра, проведём прямую a, перпендикулярную АВ<sub>2</sub>, а через точку р проведём прямую b, параллельную АВ<sub>2</sub>. Точка пересечения прямых a и b даст конец вектора `рb₂, который изображает скорость`V<sub>B2</sub> точки B<sub>2</sub>. Вектор `аb₂изображает скорость`V<sub>B2,A</sub>. Вектор скорости относительного скольжения`V_В2,Вравен вектору скорости`V_В2точки В₂.

 

Порядок построения плана ускорений 1.`pа Ý АО. 2. `anÝ В2A. 3. a ^ АВ2. 4.`bk^AВ2. 5. b // АВ2. 6. а3 = a Ç b. 7. ac /ab2=AС/АB2. 8. D aсd ~DAСD.

План положений, µl = 0,01 м/мм

О

w1

j

1

2

С

В2, В

D

90о

3

А

p, o, b

`VA (^OA)

a

`VB2 (//AВ2)

a ^АВ2

b //AB2

b2

d

c

`VB2,А (^AВ2)

^CD

^ВD

План скоростей, µV = 0,1 (м/c)/мм

`VB2 =`VA +`VB2,A ^OA ^ AB2 `VB2 =`VB +`VB2,B =0 //AB2

Порядок построения плана скоростей 1.`ра ^ ОА. 2. a ^ АВ2. 3. b //АВ2. 4. b2 = a Ç b. 5. ac /ab2=AС/АB2. 6. D aсd ~DAСD.

`akB2,B

p, o, b

a

k

c

n

`atB2,A (^AB2)

b //АВ2

a^АВ2

`arB2,B (//АB2,)

`anB2,А Ý B2,A

b2

`aA ÝAO

d

`aB2 ÝAO

План ускорений, µа = 2(м/c2)/мм

`aB2 =`aА +`anB2,А+`atВ2,А ÝAO ÝВ2А ^АB2 `aB2 =`aB +`akB2,B+`arB2,B =0 ^AB2 //AB2

В2

`VB2,А

e2

А

`atB2,A

w2

Направления угловой скорости w2 и углового ускорения e2

`akВ2,В

`VВ2,В

w2

Направление ускорения Кориолиса

Рис. 4.4. Механизм с качающимся цилиндром

 

Определим на плане скоростей точку с, используя свойство подобия планов:

 

где ac и ab₂ – длины отрезков на плане скоростей;

AC и АB₂ – длины отрезков на плане положений.

На отрезке aс построим треугольник aсd, подобный треугольнику AСD плана положений. Причём каждая из сторон треугольника aсd перпендикулярна соответствующей стороне треугольника AСD. Через точку с проведём прямую линию, перпендикулярную СD, а через точку a – прямую, перпендикулярную AD. Точка пересечения этих прямых даст точку d.

Определим скорости точек по величине:

V_B2,A = ab₂ × µ_V = 30 × 0,1= 3 м/с;

V_B2,B = bb₂ × µ_V = 28 × 0,1= 2,8 м/с;

V_B2 = V_B2,B .

Определим угловую скорость w₂звена 2 по величине:

w₂ = V_B2,A / l_AB2= 3 / 0,45 = 6,7 рад/с.

Направление угловой скорости w₂звена 2 определяется направлением относительной скорости `V_B2,A (см. схему на рис. 4.4).

Так как звенья 2 и 3 образуют поступательную пару, то угловые скорости звеньев 2 и 3 одинаковы как по величине, так и по направлению, т.е. w₂ = w₃ .

Построение плана ускорений механизма

Определим ускорение точки А. Так как угловая скорость звена 1 задана постоянной, то ускорение точки А равно нормальному ускорению т.е. а_А = аⁿ_А = l_ОА × w²₁ = 0,2 × 20² = 80 м/с².

Для построения плана ускорений выберем масштабный коэффициент µ_а таким, чтобы длина отрезка pа, изображающего вектор ускорения `а_A точки А, была равной 40 мм, т.е. примем pа = 40 мм.

Тогда µ_а = а_A / pа = 80 / 40 = 2 (м/с²)/мм.

Изобразим на рис. 4.4 вектор `pа, направленный от точки А к центру вращения О звена 1. Вектор`pа изображаетускорение`а_A точки А.

Поместим в полюс p точку b, так как ускорение точки B звена 3 равно нулю.

Ускорение точки В₂ определяется векторными уравнениями:

`а <sub>В2</sub> = `а_В +`а<sup>n</sup><sub>В2,А</sub> +`а^t_В2,А,

= 0 ÝВ₂А ^ АВ₂

где `а_В - ускорение точки В звена 3 (равно нулю);

`а<sup>n</sup><sub>В2,А</sub>и`а^t_В2,А- нормальное и тангециальное ускорения точки В₂ при вращении звена 2 вокруг точки А (`а<sup>n</sup><sub>В2,А</sub>направлено от точки В<sub>2</sub> к точке А,`а^t_В2,А– перпендикулярно АВ₂).

`а<sub>В2</sub> = `а_A +`а<sup>k</sup><sub>В2,В</sub> +`а^r_В2,В,

ÝАО ^АВ₂ // АВ₂

где `а^k_В2,В - ускорение Кориолиса;

`а^r_В2,В - ускорение скольжения точки В₂ относительно точки В, (направлено параллельно АВ₂).

Векторные уравнения, связывающие ускорения точек, решим графическим способом.

Определим нормальное ускорение `аⁿ_В2,А по величине.

аⁿ_В2,А = V²_В2,А / l_АВ2 =3² / 0,45 = 20 м/с².

Определим ускорение Кориолиса по величине:

а^k_В2,В = 2 × w₂ × V_В2,В = 2 × 6,7 × 2,8 = 37,52 м/с².

Определим длины отрезков an и bk,изображающих нормальное ускорение `а<sup>n</sup><sub>В2,А</sub> и ускорение Кориолиса`а^k_В2,В , соответсвенно, на чертеже:

an = аⁿ_В2,А / µ_а =20 / 2 = 10 мм;

bk = а^k_В2,В / µ_а = 37,52 / 2 = 18,76 мм.

Определим направление ускорения Кориолиса. Для этого повернём вектор относительной скорости ` V<sub>В2,В</sub>на 90<sup>о</sup> в сторону переносной угловой скорости w<sub>2</sub> (см. схему на рис. 4.4). Полученное направление даст направление ускорения `а^k_В2,В .

Графическое решение векторных уравнений сводится к следующим построениям.

Проведём вектор`an с началом в точке а и направленный из точки В<sub>2</sub> в точку А. Вектор`an изображает номальное ускорение

---

<== предыдущая страница	|	следующая страница ==>
Определение положений звеньев механизма	|	ЛЕКЦИЯ 5 Аналитическая кинематика плоских рычажных механизмов

---

Дата добавления: 2014-04-19; просмотров: 845; Нарушение авторских прав

---

Поделиться с ДРУЗЬЯМИ:

Мы поможем в написании ваших работ!