Студопедия

Главная страница Случайная лекция


Мы поможем в написании ваших работ!

Порталы:

БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика



Мы поможем в написании ваших работ!




ЛЕКЦИЯ 4 Примеры кинематического анализа плоских рычажных механизмов

Читайте также:
  1. I ОСОБЕННОСТИ ВЫБОРА И АНАЛИЗА ПОСТАНОВОЧНОГО МАТЕРИАЛА В КОЛЛЕКТИВЕ.
  2. Microsoft Excel. Работа с пакетом анализа. Построение простой регрессии
  3. АКУСТИКА ЗАЛОВ (лекция 3, 4)
  4. Алгоритм анализа профессиональной деятельности
  5. АНАЛИЗ ДВИЖЕНИЯ ДЕНЕЖНЫХ СРЕДСТВ. ПРЯМОЙ И КОСВЕННЫЙ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ДВИЖЕНИЯ ДЕНЕЖНЫХ СРЕДСТВ
  6. Анализ среды в стратегическом менеджменте: факторы внутренней и внешней среды, методы анализа
  7. Анализ ФСП на основе анализа соотношения собственного и заемного капитала.
  8. Аналитическое программирование оборудования с ЧПУ: методы, примеры.
  9. АСПЕКТЫ ПРЕДПРЕВОДЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕКСТА.
  10. Аспекты проблемы анализа и их реализация в программных продуктах

 

Рассмотрим примеры построения планов положений, скоростей и ускорений различных плоских механизмов: кривошипно-ползунного, шарнирного четырёхзвенника, кулисного и механизма с качающимся цилиндром.

Пример 1.Кривошипно-ползунный механизм.

Схема механизма изображена на рис. 4.1. Размеры звеньев: lОА = 0,2 м, lАВ = 0,6 м, lАС = lСВ = 0,4 м, lАS = 0,2 м, угол j = 150о. Начальное звено 1 вращается равномерно с угловой скоростью w1 = 20 рад/с.

Построение плана положений механизма

Для построения плана положений механизма выберем масштабный коэффициент µl таким, чтобы длина отрезка ОА, изображающего начальное звено, была равна 20 мм, т.е. примем ОА = 20 мм.

Тогда µl = lОА / ОА = 0,2/20 = 0,01 м/мм.

Определим длины отрезков, изображающих на чертеже другие звенья механизма:

АВ = lАВ / µl = 0,6 / 0,01 = 60 мм;

АС = lАС / µl = 0,4 / 0,01 = 40 мм;

СВ = АС = 40 мм,

AS = lАS / µl = 0,2 / 0,01 = 20 мм.

Методом засечек построим на рис. 4.1 план положений механизма.

`VB =`VA +`VBA //x ^OA ^AB
`aB =`aA +`anBA+`atBA //x ÝAO ÝBA ^AВ
Порядок построения плана ускорений 1.`pа Ý АО. 2.`anÝ BA. 3. a ^ АВ. 4. b // х. 5. b = a Ç b. 6. Dabc~DABC. 7. as / ab = AS /AB.  
Порядок построения плана скоростей 1.`ра ^ ОА. 2. a ^ АВ. 3. b // х. 4. b = a Ç b. 5. Dabc ~DABC. 6. as /ab = AS /AB.
План скоростей, µV = 0,1 (м/с)/мм
План ускорений, µа = 2 (м/с2)/мм
План положений, µl = 0,01 м/мм
w1
А
j
О
В
С
х
1
2
3
S
b // x
s
a ^ AB
p, o
b
a
c
` VA ^OA  
`VB //x
`VBA ^AB
^AC
^BC
b//х
p, о
а
`aB //х
b
a ^AB
`aA ÝAO
`an BA ÝBA  
`at BA ^AB  
s
n
c
`at BA
`VBA
w2
e2
А
В
Направления угловой скорости w2 и углового ускорения e2 звена АВ
Рис. 4.1. Кривошипно-ползунный механизм

 


Построение плана скоростей механизма

 

Определим скорость точки А:

VA = lОА × w1 = 0,2 × 20 = 4 м/с.

Для построения плана скоростей выберем масштабный коэффициент µV таким, чтобы длина отрезка ра, изображающего векторскорости `VA точки А, была равной 40 мм, т.е. примем ра = 40 мм.

Тогда µV = VA / ра = 4 / 40 = 0,1 (м/с)/мм.

Изобразим на рис. 4.1 вектор `ра, перпендикулярный ОА, учитывая направление вращения звена 1. Вектор `ра изображает скорость`VA точки А.

Движение звена 2 разложим на переносное, поступательное движение вместе с точкой А и относительное вращение вокруг точки А.

Скорость точки В определяется векторной суммой

`VB = `VA +`VBA ,

//х ^ОА ^АВ

где `VA - скорость точки А (направлена перпендикулярно ОА);

`VBA - скорость точки В при вращении звена 2 вокруг точки А (направлена перпендикулярно АВ);

`VB – вектор скрости точки В, направлен параллельно направляющей оси х.

Векторное уравнение, связывающее скорости точек, решаем графическим способом. Через точку а, которая является концом вектора `ра, проведём прямую a, перпендикулярную АВ. Через точку р проведём прямую b, параллельную оси х. Точка пересечения прямых a и b даст конец вектора `рb, который изображает скорость`VВ точки В. Вектор`аb изображает относительную скорость`VBA.

На отрезке ab построим треугольник abc, подобный треугольнику ABC плана положений. Причём каждая из сторон треугольника abc перпендикулярна соответствущей стороне треугольника ABC. Через точку а проведём прямую линию перпендикулярную АС, а через точку b – прямую, перпендикулярную BC. Точка пересечения этих прямых даст точку с.

Определим на плане скоростей точку s, используя свойство подобия планов.

 

где as и ab – длины отрезков на плане скоростей;

AS и АВ – длины отрезков на плане положения.

Построенная таким образом фигура представляет собой план скоростей механизма.

Определим скорости точек по величине:

VB = pb × µV =15× 0,1=1,5 м/с;

VBA = ab × µV =35× 0,1=3,5 м/с.

 

Определим угловую скорость звена 2 по величине.

w2 = VBA / lAB = 3,5 / 0,6 = 5,8 рад/с.

Направление угловой скорости w2звена 2 определяется направлением относительной скорости `VBA (см. схему на рис. 4.1).

Построение плана ускорений механизма

Определим ускорение точки А. Так как угловая скорость звена 1 задана постоянной, то ускорение точки А равно нормальному ускорению, т.е.

аА = аnА = lОА × w21 = 0,2 × 202 = 80 м / с2.

Для построения плана ускорений выберем масштабный коэффициент µа таким, чтобы длина отрезка , изображающего вектор ускорения точки А, была равной 40 мм, т.е. примем = 40 мм.

Тогда µа = аA / pа = 80 / 40 = 2 (м / с2) / мм.

Изобразим на рис. 4.1 вектор `pа, направленный от точки А к центру вращения О звена 1. Вектор`pа изображаетускорениеA точки А.

Ускорение точки В определяется векторной суммой:

B = `аA +`аnBA +`аtBA ,

//х ÝАО ÝBА ^АВ

гдеnBA иtBA - нормальное и тангенциальное ускорения точки В при вращении звена вокруг точки А (nBA направлено от точки В к точке А, tBA – перпендикулярно АВ).

Определим нормальное ускорение nBA по величине.

аnBA =V2BA / lАВ = 3,52 / 0,6 = 20,4 м/с2.

Определим длину отрезка an, изображающего ускорение nBA на чертеже.

an = аnBA / µа = 20,4 / 2 = 10,2 мм.

Векторное уравнение, связывающее ускорения точек, решим графическим способом. Проведём вектор`an с началом в точке а, направленный из точки В в точку А.Через точку n проведём прямую a, перпендикулярную АВ, а через точку p – прямую b, параллельную оси х.Точка пересечения прямых a и b даст конец вектора`pb, который изображает ускорениеВ точки В. Вектор `nb, перпендикулярный АВ, изображает тангенциальное ускорениеtBA . Точки а и b соединим прямой линией.На отрезке ab построим треугольник abc, подобный треугольнику ABC плана положений. При этом направление обхода по контуру abс на плане ускорений должно совпадать с направлением обхода по контуру ABС плана положений.

Определим на плане ускорений точку s, используя свойство подобия планов.

 

где as и ab – длины отрезков на плане ускорений;

AS и AB - длины отрезков на плане положений.

Построенная таким образом фигура представляет собой план ускорений механизма.

Определим ускорения точек по величине:

аB = pb × µа =23 × 2 = 46 м/с2;

аtBA = nb × µа =20 × 2 = 40 м/с2.

Определим угловое ускорение звена 2 по величине:

e2 = аtBA / lAB = 40 / 0,6 = 66,7 рад / с2.

Направление углового ускорения e2звена 2 определяется направлением тангенциального ускорения tBA (см. схему на рис. 4.1).

 

Пример 2. Шарнирный четырёхзвенный механизм.

Схема механизма изображена на рис. 4.2. Размеры звеньев: lОА = 0,2 м, lОС = 0,7 м, lАВ = 0,4 м, lВС = 0,4 м, lАD = lВD = 0,25 м, lАS = 0,1 м. Угол j = 120о. Начальное звено 1 вращается равномерно с угловой скоростью w1 = 20 рад/с.

Построение плана положений механизма

Для построения плана положений механизма выберем масштабный коэффициент µl таким, чтобы длина отрезка ОА, изображающего начальное звено 1, была равна 20 мм, т.е. примем ОА = 20 мм.

Тогда µl = lОА / ОА = 0,2/20 = 0,01 м/мм.

Определим длины отрезков, изображающих на чертеже другие звенья механизма:

ОС = lОС / µl = 0,7 / 0,01 = 70 мм;

АВ = lАВ / µl = 0,4 / 0,01 = 40 мм;

ВС = lВС / µl = 0,4 / 0,01 = 40 мм;

АD = lАD / µl = 0,25 / 0,01 = 25 мм;

BD = АD = 25 мм;

AS = lАS / µl = 0,1 / 0,01 = 10 мм.

Методом засечек построим на рис. 4.2 план положений механизма.

Построение плана скоростей механизма

 

Определим скорость точки А:

VA = lОА × w1 = 0,2 × 20 = 4 м/с.

Для построения плана скоростей выберем масштабный коэффициент µV таким, чтобы длина отрезка ра, изображающего вектор скорости `VA точки А, была равной 40 мм, т.е. примем ра = 40 мм.

Тогда µV = VA / ра = 4 / 40 = 0,1 (м/с)/мм.

Изобразим на рис. 4.2 вектор `ра, перпендикулярный ОА, учитывая направление вращения звена 1. Вектор `ра изображает скорость`VA точки А.

Движение звена 2 разложим на переносное, поступательное движение вместе с точкой А и относительное вращение вокруг точки А.

Скорость точки В определяется векторной суммой

`VB = `VA +`VBA ,

^ВC ^ОА ^АВ

где `VA - скорость точки А (направлена перпендикулярно ОА);

`VBА - скорость точки В при вращении звена 2 вокруг точки А (направлена перпендикулярно АВ);

`VB – вектор скорости точки В, направлен перпендикулярно ВС.

Векторное уравнение, связывающее скорости точек, решаем графическим способом. Через точку а, которая является концом ветора`ра, проведём прямую a, перпендикулярную АВ. Через точку р проведём прямую b, перпендикулярную ВС. Точка пересечения прямых a и b даст конец вектора

`рb, который изображает скорость`VВ точки В. Точки а и b соединим прямой линией. Вектор `аb изображает скорость`VBA .

На отрезке ab построим треугольник abd, подобный треугольнику ABD плана положений. Причём каждая из сторон треугольника abd на плане скоростей перпендикулярна соответствующей стороне треугольника ABD плана положений. Через точку а проведём прямую линию, перпендикулярную АD, а через точку b – прямую, перепендикулярную BD. Точка пересечения этих прямых даст точку d.

Определим точку s, используя свойство подобия планов.

 

где as и ab – длины отрезков на плане скоростей;

AS и AB – длины отрезков на плане положений.

Построенная таким образом фигура представляет собой план скоростей механизма.

Определим по величине скорости точек.

VB = pb × µV =24× 0,1=2,4 м/с.

VBA = ab × µV =36× 0,1=3,6 м/с.

Определим по величине угловые скорости звеньев 2 и 3.

w2 = VBA / lAB = 3,6 / 0,4 = 9 рад/с,

w3 = VB / lBC = 2,4 / 0,4 = 6 рад/с.

Направления угловых скоростей w2и w3определяются направлениями относительных скоростей `VBA и `VB соответственно (см. схему на рис. 4.2).

План ускорений, µа = 2 (м /с2)/мм
`aB =`aA +`anBA+`atBA ÝAO ÝBA ^BA `aB =`aC +`anBC+`atBC =0 ÝBC ^BC    
`anBA ÝBA
s
p, о, с
b
n1
n2  
a
`anBCÝBC
`aA ÝAO
`atBA ^BA
`atBC ^BC
a ^BA
d
`aB
b^BC
Порядок построения плана скоростей 1.`ра ^ ОА. 2. a ^ АВ. 3. b ^ ВС. 4. b = a Ç b. 5. D abd ~DABD. 6. as/ab = AS /AB.  
Порядок построения плана ускорений 1.`pа Ý АО. 2.`an1Ý BA. 3. a ^ АВ. 4.`сn2Ý BC. 5. b ^ BC 6. b = a Ç b. 7. Dabd~DABD. 8. as/ab = AS /AB.  
Рис. 4.2. Шарнирный четырёхзвенный механизм
Направления угловых скоростей w2, w3 и угловых ускорений e2, e3 звеньев
`atBС  
w3
e3
В
С
`VBС
`VBA  
w2
e2
В
А
`atBA  
План скоростей, µl = 0,1 (м/с)/мм `VB =`VA +`VBA ^ВС ^OA ^AB
b ^BС
р, о, с
а
b
d
a ^AB  
`VB ^ВС
`VA ^OA
`VBA ^AB  
^AD
^BD  
s
О
В
С
1
2
3
j
D
А
w1
S
План положений, µl = 0,01 м / мм


Построение плана ускорений механизма

Определим ускорение точки А. Так как угловая скорость звена 1 задана постоянной, то ускорение точки А равно нормальному ускорению, т.е. аА = аnА = lОА × w21 = 0,2 × 202 = 80 м/с2.

Для построения плана ускорений выберем масштабный коэффициент µа таким, чтобы длина отрезка , изображающего вектор ускорения точки А, была равной 40 мм, т.е. примем = 40 мм.

Тогда µа = аA / pа = 80 / 40 = 2 (м/с2)/мм.

Изобразим на рис. 4.2 вектор `pа, направленный от точки А к центру вращения О звена 1. Вектор`pа изображаетускорениеA точки А.

Ускорение точки В определяется векторной суммой:

B = `аA +`аnBA +`аtBA ,

ÝАО ÝBА ^АВ

гдеnBA иtBA - нормальное и тангенциальное ускорения точки В при вращении звена вокруг точки А (nBA направлено от точки В к точке А, tBA – перпендикулярно АВ).

Точка B лежит на звене 3, которое вращается вокруг неподвижного центра С. Ускорение точки B при этом определяется векторной суммой:

B = `аС +`аnBС +`аtBС ,

=0 ÝBС ^ВС

гдеСускорение точки С (равно нулю);

nBС иtBС - нормальное и тангециальное ускорения точки В при вращении звена 3 вокруг точки С (nBС направлено от точки В к точке С, tBС – перпендикулярно ВС).

Векторные уравнения, связывающие ускорения точек, решим графическим способом.

Определим нормальные ускорения nBA иnBС по величине:

аnBA = V2BA / lАВ =3,62 / 0,4 =32,4 м/с2;

аnBС = V2BС / lВС =2,42 / 0,4 = 14,4 м/с2.

Здесь VBС = VB = 2,4 м/с.

Определим длину отрезков an1 и cn2,изображающих нормальные ускорения nBA иnBС , соответственно, на чертеже:

an1 = аnBA / µа = 32,4 / 2 = 16,2 мм;

сn2 = аnBС / µа =14,4 / 2 = 7,2 мм.

Графическое решение векторных уравнений сводится к следующим построениям.

Проведём вектор`an1 с началом в точке а, направленный из точки В в точку А.Через точку n1 проведём прямую a, перпендикулярную АВ. Проведём вектор`сn2 с началом в точке с, направленный из точки В в точку С. Точка с совпадает с полюсом p, так как ускорение точки С равно нулю.Через точку n2 проведём прямую b, перпендикулярную ВС. Точка пересечения прямых a и b даст конец вектора `pb, который изображает ускорениеВ точки В. Вектор `n1b, перпендикулярный АВ, изображает тангенциальное ускорениеtBA. Вектор`n2b, перпендикулярный ВС, изображает тангенциальное ускорениеtBС. Точки а и b соединим прямой линией.На отрезке ab построим треугольник abd, подобный треугольнику ABD плана положений. При этом направление обхода по контуру abd на плане ускорений должно совпадать с направлением обхода по контуру ABD плана положения.

Длины сторон треугольника abd определим из соотношений

 

bd = ad = 11,25 мм,

где ad, аb, bd – длины отрезков на плане ускорений;

AD и AB и ВD – длины отрезков на плане положения.

Определим на плане ускорений точку s, используя свойство подобия планов.

 

где as и ab – длины отрезков на плане ускорений;

AS и AB – длины отрезков на плане положений.

Построенная таким образом фигура представляет собой план ускорений механизма.

Определим ускорения точек по величине:

аB = pb × µа = 50 × 2 = 100 м/с2,

аtBA = n1b × µа = 5 × 2 = 10 м/с2,

аtBС = n2b × µа = 49 × 2 = 98 м/с2.

Определим угловые ускорения e2и e3звеньев 2 и 3 по величине:

e2 = аtBA / lAB = 10 / 0,4 = 25 рад/с2;

e3 = аtBС / lBС = 98 / 0,4 = 245 рад/с2.

Направления угловых ускорений e2 и e3 звеньев 2 и 3 определяются направлениями тангенциальных ускорений tBA иtBС , соответственно (см. схему на рис. 4.2).

Пример 3.Кулисный механизм.

Схема механизма изображена на рис. 4.3. Размеры звеньев: lОА = 0,2 м, lОВ = 0,5 м, lСВ = 0,8 м, lСD = 0,25 м, угол j = 60о. Начальное звено 1 вращается равномерно с угловой скоростью w1 = 20 рад/с.

Введём в рассмотрение точку А3, принадлежащую кулисе 3 и совпадающую с точкой А кулисного камня 2.

Построение плана положений механизма

Для построения плана положений механизма выберем масштабный коэффициент µl таким, чтобы длина отрезка ОА, изображающего начальное звено, была равна 20 мм, т.е. примем ОА = 20 мм.

Тогда µl = lОА / ОА = 0,2/20 = 0,01 м/мм.

Определим длины отрезков, изображающих на чертеже другие звенья механизма:

ОВ = lОВ / µl = 0,5 / 0,01 = 50 мм;

СВ = lСВ / µl = 0,8 / 0,01 = 80 мм;

СD = lСD / µl = 0,25 / 0,01 = 25 мм.

Определим расстояние между точками А3 и В кулисы 3:

lА3,В = А3В× µl = 60 × 0,01 = 0,6 м,

где А3В – длина отрезка на плане положений механизма.

На рис. 4.3 построим план положений механизма. Сначала построим положения неподвижных опор О и В, затем положение начального звена ОА под углом j = 60ок прямой ОВ, затем положение кулисы 3.

Построение плана скоростей механизма

 

Определим скорость точки А.

VA = lОА × w1= 0,2 × 20 = 4 м/с.

Для построения плана скоростей выберем масштабный коэффициент µV таким, чтобы длина отрезка ра, изображающего вектор скорости точки А, была равной 40 мм, т.е. примем ра = 40 мм.

Тогда µV = VA / ра = 4 / 40 = 0,1 (м/с)/мм.

Изобразим на рис. 4.3 вектор `ра, перпендикулярный ОА, учитывая направление вращения звена 1. Вектор `ра изображает скорость`VA точки А.

Движение кулисы 3 разложим на переносное движение вместе со звеном 2 и движение скольжения относительно звена 2.

Скорость точки А3определяется векторной суммой

`VА3 = `VA +`VA3,

3В ^ОА //А3В

где`VА3– вектор скорости точки А3(направлен перпендикулярно к А3В);

`VA - скорость точки А (направлена перпендикулярно ОА);

`VA3,А - скорость точки А3при скольжении кулисы 3 относительно звена 2 (направлена параллельно А3В).

Векторное уравнение, связывающее скорости точек, решаем графическим способом. Через точку а, которая является концом ветора `ра, проведём прямую a, параллельную А3В, а через точку р проведём прямую b, перпендикулярную А3В. Точка пересечения прямых a и b даст конец вектора `ра3, который изображает скорость`VА3 точки А3. Вектор `аа3 изображает скорость`VA3. Так как скорость точки В механизма равна нулю, то соответствующая ей точка b на плане скоростей совпадает с полюсом р.

Определим на плане скоростей точку с, используя свойство подобия планов:

 

где bc и ba3 – длины отрезков на плане скоростей;

BC и 3 – длины отрезков на плане положения.

На отрезке построим треугольник bсd, подобный треугольнику BСD плана положений. Причём каждая из сторон треугольника bсd перпендикулярна соответствующей стороне треугольника BСD. Через точку с проведём прямую линию, перпендикулярную СD, а через точку b – прямую, перпендикулярную BD. Точка пересечения этих прямых даст точку d.

Построенная таким образом фигура представляет собой план скоростей механизма.

Определим скорости точек по величине:

VА3 = pа3 × µV =30× 0,1= 3 м/с;

VA3,А = аa3 × µV =28× 0,1=2,8 м/с;

VA3,B = VА3 = 3 м/с.

Определим угловую скорость w3звена 3 по величине:

w3 = VA3,B / lA3B = 3 / 0,6 = 5 рад/с.

Угловые скорости звеньев 2 и 3 одинаковы, так как звенья 2 и 3 образуют между собой поступательную пару, т.е. w2 =w3.

Направление угловой скорости w3звена 3 определяется направлением относительной скорости `VA3,B (см. схему на рис. 4.3).

Построение плана ускорений механизма

Определим ускорение точки А. Так как угловая скорость звена 1 задана постоянной, то ускорение точки А равно нормальному ускорению, т.е. аА = аnА = lОА × w21 = 0,2 × 202 = 80 м/с2.

Для построения плана ускорений выберем масштабный коэффициент µа таким, чтобы длина отрезка , изображающего вектор ускорения A точки А, была равной 40 мм, т.е. примем = 40 мм.

Тогда µа = аA / pа = 80 / 40 = 2 (м/с2)/мм.

Изобразим на рис. 4.3 вектор `pа, направленный от точки А к центру вращения О звена 1. Вектор`pа изображаетускорениеA точки А.

В полюс p плана ускорений поместим точку b, так как ускорение точки В равно нулю.

 

`akА3
w3
Ускорение Кориолиса
Направления угловой скорости и углового ускорения звена 3
Рис. 4.3. Кулисный механизм
План скоростей, µV = 0,1 (м/c)/мм  
`VА3 =`VA +`VА3,A ^OA //AB `VА3 =`VB +`VА3,B =0 ^AB  
Порядок построения плана скоростей 1.`ра ^ ОА. 2. a //А3В. 3. b ^ А3В. 4. а3 = a Ç b. 5. bc /ba3=ВС/ВА. 6. D bсd ~DBСD.  
Порядок построения плана ускорений 1.`pа Ý АО. 2.`ak^A3В. 3. a // А3В. 4.`bnÝ А3В. 5. b ^ А3В. 6. а3 = a Ç b. 7. bc /ba3=ВС/ВА3. 8. D bсd ~DBСD.  
О
w1
j
1
2
С
А, А3
D
В
90о
3
План положений, µl =0,01 м/мм
a
p, o, b
`VA3(^AВ)  
a //АВ
b ^AB
a3
d
c
`VA (^OA)  
`VA3 (//AВ)  
^CD
^ВD
`aА3 =`aА +`akА3,A+`arА3,A ÝAO ^A3B //A3B `aА3 =`aВ +`anА3,В+`atА3,В =0 ÝA3B ^A3B
План ускорений, µа = 2 (м/c2)/мм  
`akА3,А
p ,o, b
a
k
c
n
`atА3,В ^ А3В  
a//А3
b^А3В
`arА3 //А3,В
`anА3 Ý А3В  
a3
`aA ÝAO  
d
`aA3 ÝAO  
В
`VА3
e3
А3
`atА3
w3

 

 


Ускорение точки А3 определяется векторной суммой

А3 = `аA +`аkA3 +`аrA3,

ÝАО ^А3,В // А3

где kA3- ускорение Кориолиса;

rA3,А - ускорение скольжения точки А3относительно точки А, (направлено параллельно А3).

Точка А3 лежит на звене 3, которое вращается вокруг неподвижного центра В. Ускорение точки А3 определяется при этом векторной суммой

А3 = `аВ +`аnA3,B +`аtA3,B ,

= 0 ÝА3B ^ А3B

гдеВ - ускорение точки В (равно нулю);

nA3,B иtA3,B - нормальное и тангенциальное ускорения точки А3 при вращении звена 3 вокруг точки В (nA3,B направлено от точки А3 к точке В, tA3,B – перпендикулярно А3В).

Векторные уравнения, связывающие ускорения точек, решим графическим способом.

Определим ускорение Кориолиса по величине.

аkA3,А = 2 × w2 × VA3,A = 2 × 5 × 2,8 = 28 м/с2.

Определим нормальное ускорение nA3 по величине:

аnA3 = V2A3 / lА3В = 32 / 0,6 = 15 м/с2.

Определим длины отрезков ak и bn,изображающих ускорение КориолисаkA3и нормальное ускорение nA3 соответсвенно на чертеже:

ak = аkA3/ µа =28 / 2 = 14 мм;

bn = аnA3 / µа =15 / 2 = 7,5 мм.

Определим направление ускорения Кориолиса. Для этого повернём вектор относительной скорости `VA3,A на 90ов сторону переносной угловой скорости w2 (см. схему на рис. 4.3). Полученное направление даст направление вектора ускорения kA3.

Графическое решение векторных уравнений сводится к следующим построениям.

Проведём вектор`ak с началом в точке а. Через точку k проведём прямую a, параллельную А3В. Проведём вектор`bn с началом в точке b, совпадающей с полюсом p, и направленный из точки А3 в точку В. Через точку n проведём прямую b, перпендикулярную А3В. Точка пересечения прямых a и b даст конец вектора `pа3, который изображает ускорение А3 точки А3. Вектор `ka3 изображает ускорение относительного скольжения rA3 . Вектор`nа3 изображает тангенциальное ускорениеtA3. Точки а3 и b соединим прямой линией.

Определим положения точек с и d, используя свойство подобия планов.

 

 

где bc, ba3 и cd – длины отрезков на плане ускорений;

BC, BА3и CD – длины отрезков на плане положений.

На отрезке плана ускорений построим треугольник bсd, подобный треугольнику BСD плана положений. При этом направление обхода по контуру bсd на плане ускорений должно совпадать с направлением обхода по контуру BСD плана положений.

Определим ускорения точек по величине:

аА3 = pа3 × µа = 17× 2 = 34 м/с2;

аtA3 = nа3 × µа = 15× 2 =30 м/с2.

Определим угловые ускорения звеньев 2 и 3 по величине:

e3 = аtA3 / lA3B = 30 / 0,6 = 50 рад/с2.

Звенья 2 и 3 образуют поступательную пару между собой, поэтому e2 = e3 как по величине, так и по направлению. Направление углового ускорения e3 определяется направлением тангенциального ускорения tA3 (см. схему на рис. 4.3).

Пример 4.Механизм с качающимся цилиндром.

Схема механизма изображена на рис. 4.4. Размеры звеньев: lОА = 0,2 м, lОВ = 0,6 м, lАС = 0,6 м, lСD = 0,2 м.Угол j = 30о. Начальное звено 1 вращается равномерно с угловой скоростью w1 = 20 рад/с.

Введём в рассмотрение точку В2, принадлежащую звену 2 и совпадающую с точкой В звена 3.

Построение плана положения механизма

Для построения плана положений механизма выберем масштабный коэффициент µl таким, чтобы длина отрезка ОА, изображающего начальное звено, была равна 20 мм, т.е. примем ОА = 20 мм.

Тогда µl = lОА / ОА = 0,2/20 = 0,01 м/мм.

Определим длины отрезков, изображающих на чертеже другие звенья механизма:

ОВ = lОВ / µl = 0,6 / 0,01 = 60 мм;

АС = lАС / µl = 0,6 / 0,01 = 60 мм;

СD = lСD / µl = 0,2 / 0,01 = 20 мм.

Определим расстояние lAB2между точками А и B2 звена 2:

lAB2 = АВ2 × µl =45× 0,01=0,45 м,

где АВ2 - длина отрезка на плане положений.

На рис. 4.4 построим план положений механизма. Сначала построим положения неподвижных опор О и В, затем положение начального звена ОА под углом j = 30о к прямой ОВ, затем положение шатуна 2.

Построение плана скоростей механизма

 

Определим скорость точки А:

VA = lОА × w1 = 0,2 × 20 = 4 м/с.

Для построения плана скоростей выберем масштабный коэффициент µV таким, чтобы длина отрезка ра, изображающего вектор скорости `VA точки А, была равной 40 мм, т.е. примем ра = 40 мм.

Тогда µV = VA / ра = 4 / 40 = 0,1 (м/с)/мм.

Изобразим на рис. 4.4 вектор `ра, перпендикулярный ОА, учитывая направление вращения звена 1. Вектор `ра изображает скорость`VA точки А. В точку р поместим точку b, так как скорость точки В звена 3 равна нулю.

Движение звена 2 разложим на переносное, поступательное движение вместе с точкой А и относительное вращение вокруг точки А.

Скорость точки В2определяется векторной суммой

`VB2 = `VA +`VB2,A,

^ОА ^АВ2

где `VA - скорость точки А (направлена перпендикулярно ОА);

`VB2,A - скорость точки В2при вращении звена 2 вокруг точки А (направлена перпендикулярно АВ2).

С другой стороны, движение звена 2 разложим на переносное движение вместе со звеном 3 и движение скольжения относительно звена 3.

Скорость точки В2 определяется векторной суммой

`VВ2 = `VВ +`VВ2,

= 0 //АВ2

где `VВ - скорость точки В (равна нулю);

`VВ2 - скорость скольжения точки В2относительно точки В (направлена параллельно АВ2).

Векторные уравнения, связывающие скорости точек решаем графическим способом. Через точку а, которая является концом вектора `ра, проведём прямую a, перпендикулярную АВ2, а через точку р проведём прямую b, параллельную АВ2. Точка пересечения прямых a и b даст конец вектора `рb2, который изображает скорость`VB2 точки B2. Вектор `аb2изображает скорость`VB2,A. Вектор скорости относительного скольжения`VВ2,Вравен вектору скорости`VВ2точки В2.

 

Порядок построения плана ускорений 1.`pа Ý АО. 2. `anÝ В2A. 3. a ^ АВ2. 4.`bk^AВ2. 5. b // АВ2. 6. а3 = a Ç b. 7. ac /ab2=AС/АB2. 8. D aсd ~DAСD.
План положений, µl = 0,01 м/мм
О
w1
j
1
2
С
В2, В
D
90о
3
А
p, o, b
`VA (^OA)  
a
`VB2 (//AВ2)  
a ^АВ2
b //AB2
b2
d
c
`VB2,А (^AВ2)  
^CD
^ВD
План скоростей, µV = 0,1 (м/c)/мм  
`VB2 =`VA +`VB2,A ^OA ^ AB2 `VB2 =`VB +`VB2,B =0 //AB2  
Порядок построения плана скоростей 1.`ра ^ ОА. 2. a ^ АВ2. 3. b //АВ2. 4. b2 = a Ç b. 5. ac /ab2=AС/АB2. 6. D aсd ~DAСD.  
`akB2,B
p, o, b
a
k
c
n
`atB2,A (^AB2)  
b //АВ2
a^АВ2
`arB2,B (//АB2,)
`anB2 Ý B2,A  
b2
`aA ÝAO  
d
`aB2 ÝAO  
План ускорений, µа = 2(м/c2)/мм    
`aB2 =`aА +`anB2+`atВ2 ÝAO ÝВ2А ^АB2 `aB2 =`aB +`akB2,B+`arB2,B =0 ^AB2 //AB2
В2
`VB2
e2
А
`atB2,A  
w2
Направления угловой скорости w2 и углового ускорения e2
`akВ2
`VВ2
w2
Направление ускорения Кориолиса
Рис. 4.4. Механизм с качающимся цилиндром

 


Определим на плане скоростей точку с, используя свойство подобия планов:

 

где ac и ab2 – длины отрезков на плане скоростей;

AC и АB2 – длины отрезков на плане положений.

На отрезке построим треугольник aсd, подобный треугольнику AСD плана положений. Причём каждая из сторон треугольника aсd перпендикулярна соответствующей стороне треугольника AСD. Через точку с проведём прямую линию, перпендикулярную СD, а через точку a – прямую, перпендикулярную AD. Точка пересечения этих прямых даст точку d.

Определим скорости точек по величине:

VB2,A = ab2 × µV = 30 × 0,1= 3 м/с;

VB2,B = bb2 × µV = 28 × 0,1= 2,8 м/с;

VB2 = VB2,B .

Определим угловую скорость w2звена 2 по величине:

w2 = VB2,A / lAB2= 3 / 0,45 = 6,7 рад/с.

Направление угловой скорости w2звена 2 определяется направлением относительной скорости `VB2,A (см. схему на рис. 4.4).

Так как звенья 2 и 3 образуют поступательную пару, то угловые скорости звеньев 2 и 3 одинаковы как по величине, так и по направлению, т.е. w2 = w3 .

Построение плана ускорений механизма

Определим ускорение точки А. Так как угловая скорость звена 1 задана постоянной, то ускорение точки А равно нормальному ускорению т.е. аА = аnА = lОА × w21 = 0,2 × 202 = 80 м/с2.

Для построения плана ускорений выберем масштабный коэффициент µа таким, чтобы длина отрезка , изображающего вектор ускорения A точки А, была равной 40 мм, т.е. примем = 40 мм.

Тогда µа = аA / pа = 80 / 40 = 2 (м/с2)/мм.

Изобразим на рис. 4.4 вектор `pа, направленный от точки А к центру вращения О звена 1. Вектор`pа изображаетускорениеA точки А.

Поместим в полюс p точку b, так как ускорение точки B звена 3 равно нулю.

Ускорение точки В2 определяется векторными уравнениями:

В2 = `аВ +`аnВ2 +`аtВ2,

= 0 ÝВ2А ^ АВ2

гдеВ - ускорение точки В звена 3 (равно нулю);

nВ2иtВ2- нормальное и тангециальное ускорения точки В2 при вращении звена 2 вокруг точки А (nВ2направлено от точки В2 к точке А,tВ2– перпендикулярно АВ2).

В2 = `аA +`аkВ2 +`аrВ2,

ÝАО ^АВ2 // АВ2

где kВ2,В - ускорение Кориолиса;

rВ2- ускорение скольжения точки В2 относительно точки В, (направлено параллельно АВ2).

Векторные уравнения, связывающие ускорения точек, решим графическим способом.

Определим нормальное ускорение nВ2,А по величине.

аnВ2 = V2В2 / lАВ2 =32 / 0,45 = 20 м/с2.

Определим ускорение Кориолиса по величине:

аkВ2= 2 × w2 × VВ2 = 2 × 6,7 × 2,8 = 37,52 м/с2.

Определим длины отрезков an и bk,изображающих нормальное ускорение nВ2 и ускорение КориолисаkВ2, соответсвенно, на чертеже:

an = аnВ2/ µа =20 / 2 = 10 мм;

bk = аkВ2/ µа = 37,52 / 2 = 18,76 мм.

Определим направление ускорения Кориолиса. Для этого повернём вектор относительной скорости ` VВ2на 90о в сторону переносной угловой скорости w2 (см. схему на рис. 4.4). Полученное направление даст направление ускорения kВ2.

Графическое решение векторных уравнений сводится к следующим построениям.

Проведём вектор`an с началом в точке а и направленный из точки В2 в точку А. Вектор`an изображает номальное ускорение


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Определение положений звеньев механизма | ЛЕКЦИЯ 5 Аналитическая кинематика плоских рычажных механизмов

Дата добавления: 2014-04-19; просмотров: 845; Нарушение авторских прав




Мы поможем в написании ваших работ!
lektsiopedia.org - Лекциопедия - 2013 год. | Страница сгенерирована за: 0.036 сек.