Методы решения нелинейных алгебраических уравнений

Рис.6.1. Нахождение корня методом сканирования

- заранее заданная точность вычисления корня (например, £0,001) уравнения ¦(x)=0. Вычисляются последовательно все значения ¦(x_k), k=0... n. Затем из этого ряда выбирается значение ¦(x_k0) , близкое к нулю. Значение x_k0 будет решением уравнения с заданной точностью e.

Метод деления пополам. На первом шаге диапазон изменения аргумента x (x_min£x£x_max ) делится пополам и определяется середина этого отрезка

.

Затем определяются значения

,

на основе которых выбирается интервал, содержащий корень уравнения.

Выбор половинки общего интервала происходит на основании определения смены знака функции на границах, например для 1-ой половинки.

.

Смену знака можно определить:

- смена знака (корень в этом поддиапазоне);

- смены знака нет (корня в этом поддиапазоне нет).

Рис. 6.2. Нахождение корня методом деления пополам

Далее эта процедура повторяется до тех пор, пока . Тогда можно считать корнем уравнения вычисленного с точностью e.

; ;

.

Метод золотого сечения. Метод отличается от предыдущего делением интервала на две неравные части согласно правилу золотого сечения. Золотое сечение определяется следующим образом: отношение всего отрезка к большей его части равно отношению большей части отрезка к его меньшей.

больший отрезок ближе к

больший отрезок ближе к

Аналитически можно вычислить по следующей формуле в первом случае:

,

во втором случае:

.

В остальном алгоритм метода золотого сечения совпадает с алгоритмом метода деления пополам. Доказано, что методу золотого сечения требуется меньше шагов (итераций) для определения корня уравнения по сравнению с многими другими методами.

Метод хорд. Суть этого метода заключается в том, что нелинейная монотонная функция заменяется линейной в виде хорды, которую можно рассмотреть, как прямую, проходящую через две точки: и в декартовой системе координат.

Рис. 6.3. Нахождение корня методом хорд

На основании пропорции

можно вывести уравнение прямой, отрезок которой является хордой:

.

Корень x₁ уравнения будет являться первым приближением решения нелинейного уравнения. Далее с новой точкой аналогично определяется точка x₂ и т.д. до получения значения корня с требуемой точностью.

Относительно выбора концов отрезка придерживаются следующих рекомендаций: Если , то «закрепляется» правая точка хорды.

- обозначает 2^ую производную функции .

Составим уравнение касательной по двум точкам:

,

,

.

Метод касательных (Ньютона). Иллюстрация метода касательных приведена на рис.6.4.

Суть метода аналогична идее метода хорд, только в качестве прямой линии используется касательная, проведенная в текущей точке последовательности корней уравнения. В качестве начальной точки берется , если , или , если .

Алгоритм вычисления можно записать в следующем виде:

,

где - первая производная функции .

Условие окончания итерационной процедуры определяется требованием точности вычисления корня уравнения

Комбинированный метод. Комбинированный метод сочетает в себе поочередное применение метода хорд и касательных. Остановка происходит, если на некотором шаге n выполняется неравенство:

,

где - значение, определенное методом Ньютона,

либо применяется поочередная проверка:

,

где - значение, определенное методом хорд.

Часто используется параболическая аппроксимация вместо линейной (хорда или касательная). Алгоритм такого метода отличается только определением аппроксимационной параболы по трем точкам (боковые и середина отрезка). Соответственно, на следующем шаге решается параболическое уравнение, находится новая точка. По ней относительно концов интервалов проводится контроль смены знака функции, выбирается интервал и строится парабола и т. д. до выполнения правила остановки, определяющего момент срабатывания заданного количества шагов итераций или достижения заданной точности нахождения корня.

Дата добавления: 2014-08-04; просмотров: 615; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!