Повторные независимые испытания. Вероятность наступления события при независимых испытаниях (формула Бернулли). Наивероятнейшая частота

Пусть проводится n испытаний, в каждом из которых событие А может произойти или не произойти, причем вероятность события А от испытания к испытанию не меняется. Такие испытания называются независимыми. В противном случае испытания зависимы. Вероятность наступления события А при каждом испытании обозначим р, то есть P(A)=p, тогда .

При n независимых испытаниях событие А практически может наступить любое число раз (m раз) в разных комбинациях с противоположным событием (которое может наступить (n-m) раз).

Рассмотрим простейшую комбинацию:

, то есть событие А наступает m раз подряд, а затем раз наступает событие . Используя теорему умножения вероятностей независимых событий, получим

Различных комбинаций, в которых событие А наступает m раз, всего будет , вероятность наступления каждой из этих комбинаций одинаковая и равна .

Вероятность наступления события А m раз при n испытаниях символически записывается так: .

Итак,

Таким образом, .

Полученная формула называется формулой Бернулли.

Наивероятнейшая частота

Частота m₀ называется наивероятнейшая частота, если выполняются одновременно 2 условия

Р_{m0 ,n} (A) ≥ Р_{m0 - 1,n} (A)

Р_{m0 ,n} (A) ≥ Р_{m0 + 1,n} (A)

1) *p^m0*q^n-m0≥ *p^m0-1*q^n-m0+1

2) *p^m0*q^n-m0≥ *p^m0+1*q^n-m0-1

Разделим 1 на p^m0-1q^n-m0, a 2 на p^m0 q^n-m0-1

p≥ q

≥ p

1) p≥ q

2) q≥ p

Домножаем 1 на , 2 на

p≥ q

2) q≥ p

p≥ q

≥

1) ≥ домножаем на m₀

2) ≥ домножаем на m₀+1

1)p≥ домножаем на (n-m₀+1)

2) ≥ p домножаем на (n-m₀)

1) (n-m₀+1)p≥qm₀

2) (m₀+1)q≥(n-m₀)p

1) np-m₀p+p-qm₀≥0

2) m₀q+q-np+m₀≥0

1) np+p-m₀(p+q)≥0

2)q-np+m₀(p+q)≥0

np+p≥m₀

m₀≥np-q

np-q≤ m₀ ≤ np+p формула наивероятнейшей частоты

Дата добавления: 2014-09-01; просмотров: 1477; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!