ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

2.1. Неравноточные измерения и их веса

В практике математической обработки результатов геодезических измерений встречаются случаи, когда приходится анализировать накопленный материал с неодинаковым числом измерений, инструментами разной точности, с различным числом измеряемых величин и различной протяженности, выполненных в разных условиях. Такие измерения можно отнести к неравноточным. Возникает задача определения по результатам неравноточных наблюдений наиболее надежного значения измеряемой величины, оценки точности этих измерений, а также уравнивания различных геодезических сетей.

Достоинство результата измерения, меру его надежности обозначают числом, называемым весом этого измерения, т.е. весом называют степень доверия к результату измерения, выраженную числом.

Чем лучше условия измерения, чем надежнее результат, тем больше его вес, т.е. тем больше наше доверие к нему. Таким образом вес характеризует условия измерения. Но определенным условиям соответствует определенная средняя квадратическая ошибка. Чем меньше средняя квадратическая ошибка, тем надежнее результат, а следовательно, тем больше его вес. Исходя из сказанного, за веса результатов измерений принимают величины обратно пропоциональные квадратам соответствующих им средних квадратических ошибок.

Пусть некоторая величина измерялась неравноточно n раз

x₁, x₂, . . . , x_n;

m₁ , m₂ , . . . , m_n,

тогда веса результатов измерений будут равны

(2.1)

где С - коэффициент пропорциональности, который может быть выбран любым, но одинаковым для данного ряда измерений.

При установлении весов необходимо соблюдать следующие условия:
1) средние квадратические ошибки, по которым определяются веса, должны быть найдены из достаточно большого числа наблюдений;

2) из измерений, по которым вычисляются средние квадратические ошибки, должны быть исключены систематические ошибки.

Cогласно (2.1) при различных значениях С получаем и различные веса, однако соотношение между ними остается неизменным. Отсюда следует, что веса данного ряда измерений являются величинами относительными и их можно одновременно увеличивать или уменьшать в одинаковое число раз.

2.2. Общая арифметическая средина и ее свойства

Пусть дан ряд результатов измерений

x₁ , x₂ , . . . , x_n ;

m₁ , m₂ , . . . , m_n .

Требуется найти наиболее надежное значение`x измеренной величины. Выразим искомую величину в виде линейной функции

(2.2)

где k_i являются некоторой функцией величин m_i и связаны условием

(2.3)

Тогда

(2.4)

Функция приведет нас к надежному результату, если ее средняя квадратическая ошибка будет наименьшей, т. е.

M² = min . (2.5)

Задачу решим по методу Лагранжа

(2.6)

где l - подлежащий определению коэффициент, называемый множителем Лагранжа.

Условие (2.5) определяется точкой экстремума функции Лагранжа F.

(2.7)

Отсюда

(2.8)

Подставив эти значения в уравнение (2.2), получим

(2.9)

Из уравнения (2.8) найдем

(2.10)

С учетом равенства (2.3) определим множитель Лагранжа l

(2.11)

Полученное значение l подставим в уравнение (2.9)

(2.12)

Учитывая (2.1), равенство (2.12) можно записать в следующем виде:

(2.13)

Общая арифметическая средина равна сумме произведений каждого неравноточного измерения на его вес, разделенной на сумму весов.

Рассмотрим свойства отклонений от общей арифметической средины.
Первое свойство. Алгебраическая сумма произведений отклонений результатов неравноточных измерений от общей арифметической средины на соответствующие веса равна нулю при любом числе наблюдений, т.е.

[ pv ] = 0 . (2.14)

Дан ряд отклонений от арифметической средины с соответствующими весами p_{1 ,} p_{2 , . . . ,} p_n.
p₁ v₁ = x₁ - `x ;
p<sub>2</sub> v<sub>2</sub> = x<sub>2</sub> - `x ;
. . . . . . . . . . . . (2.15)

p_n v_n = x_n - `x .

Перемножив равенства (2.15) на соответствующие веса и сложив левую и правую части, получим

Cогласно (2.13) будем иметь

следовательно,

(2.16)

Данное свойство можно использовать для контроля вычислений общей арифметической средины.

Второе свойство. Cумма произведений квадратов отклонений результатов неравноточных измерений от общей арифметической средины на соответствующие веса является наименьшей, т.е

[ pvv ] = min (2.17)

Пусть x¢ ¹ `x , тогда

(2.18)

Установим связь между отклонениями v и v¢

(2.19)

В равенстве (2.19) v_i перенесем в правую часть. Затем, умножая на соответствующие веса, возведем в квадрат и почленно сложим

(2.20)

В правой части равенства (2.20) слагаемое 2 согласно первому свойству отклонений (2.16). Следовательно, из равенства (2.20) следует, что

(2.21)

Данное свойство подтверждает, что если ошибки результатов неравноточных измерений подчиняются нормальному закону распределения, то наиболее надежным значением является общая арифметическая средина.

2.3. Средняя квадратическая ошибка единицы веса

Дан ряд результатов неравноточных измерений

x₁ , x₂ , . . . , x_n ;

m₁ , m₂ , . . . , m_n .

Cоответственно

(2.22)

Как видим из равенств (2.22) , всегда найдется такое соотношение, когда , т.е. коэффициент С есть не что иное, как средняя квадратическая ошибка измерения, вес которой равен единице и которая в отличие от остальных средних квадратических ошибок обозначается m и называется ошибкой единицы веса.

Тогда

(2.23)

Следовательно,

(2.24)

В соответствии с (2.24) можно записать

(2.25)

или
(2.26)

т.е. cредняя квадратическая ошибка любого результата измерения равна ошибке единицы веса, деленной на корень квадратный из веса соответствующего результата.

2.4. Вычисление весов функций. Вес функции независимых величин

Определим вес функции

(2.27)

При этом известны веса аргументов p₁ , p₂ , . . . , p_n. В случае независимых величин имеем

(2.28)

Разделим обе части равенства (2.28) на m²

так как то окончательно имеем

(2.29)

2.4.2. Вес функции неравноточных слагаемых

Дана функция вида

F = x₁ + x₂ + . . . + x_n , (2.30)

где x_i - результаты неравноточных измерений с соответствующими весами: p₁, p₂ , . . . , p_{n .}

Требуется определить вес функции F . Cогласно (2.29) будем иметь

(2.31)

Обратный вес суммы неравноточных слагаемых равен сумме обратных весов.

2.4.3. Вес суммы равноточных слагаемых

Дана функция вида (2.30), в которой x_i являются результатами равноточных измерений, т.е. p₁ = p₂ = . . . = p_n = p. Тогда вес такой функции определится из равенства (2.31)

(2.32)

Откуда

(2.33)

Вес суммы равноточных слагаемых в n раз меньше веса одного измерения.

2.4.4. Вес простой арифметической средины

Поскольку простая арифметическая средина вычисляется согласно формуле

(2.34)

ее средняя квадратическая ошибка будет равна

,

откуда

Переходя к весам, получим

или

(2.35)

Вес простой арифметической средины в n раз больше веса одного измерения.

2.4.5. Вес и средняя квадратическая ошибка общей арифметической средины

Представив общую арифметическую средину в виде линейной функции

, (2.36)

cогласно равенства (2.29) получим

или

откуда

(2.37)

Вес общей арифметической средины равен сумме весов результатов измерений.
Средняя квадратическая ошибка M среднего весового согласно формуле (2.26) вычислится

(2.38)

или
(2.39)

2.5. Вычисление ошибки единицы веса. Вычисление ошибки единицы веса при установлении весов по известным средним квадратическим ошибкам

Согласно (2.22) и (2.26) имеем

откуда
(2.40)

Если при этом известны веса, то ошибку единицы веса можно вычислить по формуле

(2.41)

2.5.2. Вычисление ошибки единицы веса через истинные ошибки

Дан ряд неравноточных измерений

x₁ , x_{2 , . . . ,} x_n (2.42)

с соответствующими истинными ошибками, весами и средними квадратическими ошибками

D₁ , D₂ , . . . , D_n ; (2.43)
p_{1 ,} p₂ , . . . , p_n ; (2.44)
m₁ , m₂, . . . , m_n . (2.45)

Умножим каждый результат ряда (2.42) на получим новый ряд

(2.46)

При увеличении или уменьшении значения x в произвольное число раз изменяются и истинные ошибки в соответствующее число раз

(2.47)

Соответственно

(2.48)

а это согласно (2.41)

(2.49)

Откуда следует, что ряд (2.46) является равноточным со средней квадратической ошибкой m и истинными ошибками (2.47), тогда, использовав формулу Гаусса (1.13), получим

(2.50)

Надежность определения m вычислится

(2.51)

2.5.3. Вычисление средней квадратической ошибки измерения углов в триангуляции

Даны невязки в треугольниках

w₁ , w₂ , . . . , w_n ,

причем

(2.52)

Считая углы равноточно измеренными с весом 1, находим вес p_i функции j_i

или
p_i =

Так как невязки являются истинными ошибками, воспользуемся формулой (2.50)

где N - число треугольников сети триангуляции.

Окончательно имеем

(2.53)

Формула (2.53) носит название формулы Ферреро.

2.5.4. Вычисление ошибки единицы веса через отклонения от арифметической средины

Пусть даны результаты неравноточных измерений

x₁ , x₂ , . . . ,x_n ;

p₁ , p₂ , . . . , p_n ,

а также известны истинное значение X и среднее арифметическое `x₀. Составим два ряда истинных ошибок и отклонений от арифметической средины

(2.54)

Из первого ряда вычтем второй, в результате чего получим

(2.55)

Равенства (2.55) возведем в квадрат и умножим на соответствующие веса. Полученные равенства почленно просуммируем и в результате будем иметь

(2.56)

В правой части равенства (2.56) второе слагаемое согласно первому свойству отклонений от общей арифметической средины равно нулю. Cледовательно,

(2.57)

Cогласно (2.50) имеем , а выражение в круглых скобках является средней квадратической ошибкой среднего значения, т.е.

(2.58)

или
(2.59)

С учетом (2.58) и (2.59) равенство (2.57) примет вид

или

Откуда

(2.60)

Надежность определения m вычислится

. (2.61)

Дата добавления: 2014-09-08; просмотров: 735; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!