Предел функции. Непрерывность функции. Символ «о» малое

План лекции

1. Определения предела, геометрическая интерпретация определения.

2. Определения односторонних пределов функции, геометрический смысл этих понятий.

3. Свойства пределов функций.

4. Первый и второй замечательные пределы.

5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства. Связь предела функции с бесконечно малой функцией.

6. Сравнение бесконечно малых функций по порядку малости. Символ «о» и его свойства.

7. Асимптотические формулы для простейших элементарных функций.

8. Свойства непрерывных функций.

9. Виды точек разрыва.

Определение предела функции

Пусть функция f определена на некоторой проколотой окрестности точки (т.е. окрестности точки , исключая саму эту точку). Число A называется пределом функции f в точке , если , , сходящей к точке : последовательность сходится к числу A, т.е. верно равенство: Обозначение:

Для любого сколь угодно малого e > 0 найдется d > 0, такое, что для любой числовой последовательности , все члены которой, начиная с некоторого номера , расположены в проколотой d-окрестности точки , соответствующие значения последовательности : , ... попадут в e-окрестность точки A.

Определение предела функции

Число A называется пределом функции f в точке , если e >0 $ d >0 :

Для любой сколь угодно малой e-окрестности точки A существует такая проколотая окрестность точки , что для любых x из этой окрестности, соответствующие значения функции f (x) попадут в e-окрестность точки A.

Односторонние пределы.

Определение Пусть функция f определена на интервале (соответственно на интервале ). Число A называется пределом слева (справа) функции f в точке , если какова бы ни была такая , что , последовательность сходится к числу b, т.е. Обозначения:

Геометрический смысл: для любого сколь угодно малого e > 0 найдется d > 0, такое, что для любой числовой последовательности, все члены которой, начиная с некоторого номера , находятся в интервале соответствующие значения последовательности будут находиться в e-окрестности точки A.

Определение одностороннего предела. Пусть функция f(x) определена на интервале (соответственно на интервале ). Число A называется пределом слева (справа) функции f(x) в точке , если соответственно выполняется неравенство

Для любой сколь угодно малой e-окрестности точки b найдется d>0, такое, что соответствующие значения функции f(x) попадут в e-окрестность точки b.

Теорема. Функция f(x) имеет предел в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют пределы как справа, так и слева, и они равны. В этом случае их общее значение и является пределом функции f в точке :

Дата добавления: 2014-11-08; просмотров: 582; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!