Статистические распределения

Прежде чем говорить о распределениях, введем понятия вероятности и флуктуации.

Пусть имеется очень большое число N одинаковых молекул, находящихся в равновесии. Если бы удалось измерить некоторую величину х, характеризующую молекулу (например, энергию, скорость и т.д.), у N молекул, то оказалось бы, что у N₁ молекул величина х имеет значение х₁, у N₂ – значение х₂, у N_i - значение х_i. Величину называют относительной частотой появления результата х_i. Предел этой величины, когда N , т.е. , называют вероятностью появления результата х_i. Так как , то , т.е. сумма вероятностей всех возможных значений величины х равна 1.

Вероятность получить результат х_i или х_k равна: - это выражение называют теоремой сложения вероятностей.

Допустим, что молекулы характеризуют значениями двух величин х и у. Вероятности этих значений равны: и (х и у могут принимать дискретные значения). Вероятность того, что молекулы имеют одновременно значения х_i и у_i равна: - теорема об умножении вероятностей.

Если мы знаем вероятности появления различных результатов измерения, то можем найти среднее значение всех результатов: .

Если величина х, характеризующая систему может принимать непрерывный ряд значений (в частности 0<x<∞), например модуль поступательной скорости и кинетической энергии молекул, то число возможных значений х бесконечно велико.

В этом случае удобно рассмотреть вероятность того, что величина имеет значения, заключенные в пределах малого интервала от х до х+dx: . При малом интервале dx эта вероятность будет пропорциональна dx. Кроме того, она зависит от того, в каком месте оси х расположен интервал dx , т.е. является функцией x (f(x)) . Таким образом, , - эту функцию называют функцией распределения вероятностей.

Умножив на полное число молекул N, обладающих значениями от х до х+dx: . Интеграл от , взятый по всему интервалу возможных значений х, должен быть равен числу молекул N: . Отсюда следует .

Дата добавления: 2014-11-08; просмотров: 255; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!