Построение математических моделей ГПС, их устройств и элементов

В ГПС используют блочно-иерархический метод построения моделей, в которой используется трехуровневая или четырехуровневая структура.

Верхний уровень – система взаимодействующих устройств: Технологического оборудования (ТО), ПР, складов, контрольно-измерительных автоматов, автоматического транспорта и др.

Определяется: производительность ГПС, коэффициенты загрузки станков, максимальное и минимальное время обработки и т. д.

ММ на этом уровне может быть описана в виде модели систем массового обслуживания (СМО). СМО описывается модельными блоками, представляющими законы распределения времени обработки изделий на них. На этом уровне:

- выбираются технологические технические объекты (ТО) на обработку;

- определяется оптимальная последовательность выполнения обработки ТО.

Решается задача с помощью теории массового обслуживания. Необходимо определять выбор приоритетов при обработке, стоимость времени ожидания ТО (срочность обработки).

Экономические критерии. Ценность ТО характеризуют величиной α. Выбранная последовательность обработки (приоритетов) является оптимальной, если в установившемся режиме работы системы количество полностью обработанных в единицу времени ТО будет максимальным.

∑α_iλ_iυ_i → max,

где υ_i – вероятность полной обработки ТО,

λ_i – входящий поток ТО с одинаковым приоритетом.

На 2-м уровне каждая из единиц оборудования рассматривается как система из взаимодействующих элементов. Например, робот состоит из манипуляторов, приводов, сенсорных датчиков. Разрабатываются ММ устройств.

Третий уровень – изучение функционирования отдельного элемента (манипулятор, …). Условно можно разделить на 4 типа узлов: механические, управляющие, информационно-сенсорные, приводные. Создаются кинематические и динамические модели механических узлов.

В качестве моделей используют системы обыкновенных дифференциальных уравнений, алгебраических и др. уравнений), или их комбинаций. Для механических узлов необходимо учитывать: порядок соединения звеньев в механизме друг с другом, способ соединения (шарнирный, скольжения или вращательный), массу, координаты центров тяжести, тензор инерций.

Для детального отражения процессов, протекающих в отдельных модельных блоках (звена манипулятора,станина станка с ЧПУ, ротор эл. двигателя) на 4-м уровне используются дифуравнения в частных производных.

Для общесистемных моделей на верхнем иерархическом уровне могут использоваться: детерминированные дискретные модели (ДДМ), стохастические модели (СМ) и непрерывно стохастические модели(НСМ).

Детерминированные дискретные модели.Для их построения используют теорию автоматов. Автомат отрабатывает дискретную информацию и меняет свои внутренние состояния в дискреустимые тные автоматного времени (такты времени). На вход подаются воздействия X, а на выходе получают выходные характеристики Y, имеет внутреннее состояние Z. Если множество внутренних состояний конечное, то автомат конечный. Автомат также характеризуется начальным состоянием z₀ (z₀ Є Z), функцией состояний h(z,x), функцией выходов g(z,x). По способу задания функции выхода g различают автоматы Мили и Мура.

Автомат Мили описывается уравнениями: z(t+1)=h[z(t),x(t)], y(t)=g[z(t),x(t)], t=0,1,2,3…

Автомат Мура определяется только состоянием автомата и не зависит от входного воздействия. Y(t)=g[z(t)], т.е. функция выходов не зависит от входной переменной x(t) или z(t+1)=h[z(t),x(t)], y(t)=g[z(t),x(t-1)], t=0,1,2,3…

Способы описания: табличный, графовый и матричный.

Табличный – таблица переходов и выходов, строки которых соответствуют входным воздействиям автомата, а столбцы его состояниям.

Таблица . Задание автомата Мили

Таблица . Задание автомата Мура

Графовый способ задания - направленный граф, в котором вершины соответствуют состояниям автомата, а набор дуг соответствует переходам автомата из одного состояния в другое.

Матричный – квадратная матрица соединений автомата ||С_i,j||, строки которой соответствуют исходным состояниям, а столбцы - состояниям переходов. Элемент с_i,j=x_k/y_s соответствует переходу из состояния z_i в состояние z_j при входном воздействии x_k и выходной характеристике y_s, получаемой при этом переходе. При описании автомата Мура элемент с_i,j равен множеству входных воздействий на переходе (z_i → z_j), а выход описывается вектором выходов Y, где i - компонента которого – выходная характеристика, отмечающая состояние z_i.

│y(z₀)│ Пример для автомата Мура │─ x₁ ─ x₂ ─│ │ y₁│

Y=│y(z₁)│ │─ x₂ ─ ─ x₁│ │ y₂│

│… │ C =│─ x₂ ─ ─ x₁│ Y= │ y₃│

│y(z_k)│ │x₂ ─ x₁ ─ ─│ │ y₂│

│x₂ ─ x₁ ─ ─│ │ y₃│

Данные схемы описания автоматов удобны для описания функционирования ГПС, их подсистем и элементов (ПР, станки с ЧПУ, загрузочные устройства, подсистемы сборки, подсистемы контроля, управления и т.д.). для которых характерно наличие дискретных состояний и дискретный характер работы во времени.

Стохастические моделистроят с использованием теории вероятностных (стохастических) автоматов т.к. ГПС проявляют статистически закономерное случайное поведение. Вероятностный автомат – дискретный потактовый преобразователь объектов обработки с памятью, функционирование которого в каждом такте зависит только от состояния памяти в нем и может быть описано статистически.

Пусть существует множество G(x_i,z_s), где элементы входного подмножества x_i и выходного стояний z_s образуют всевозможные пары. Элемент x_i,z_s множества G индуцирует закон распределения из F(z,x,y,h,g), элементы которого (z₁,y₁), ( z₁,y₂)… (z_k,y_j-1), (z_k,y_j); b₁₁, b₁₂… b_kj-1, b_kj при этом выполняется условие ∑∑ b_kj=1, где b_kj – вероятности перехода автомата в состояние z_k и появления на выходе сигнала y_j, если он находился в состоянии z_s и на его вход в этот момент времени поступил сигнал x_i. Число таких распределений, представленн ых в виде таблиц равно числу элементов множества G. Обозначим множество таких таблиц через В. Тогда Р=(z,x,y,В) называют вероятностным автоматом.

Пусть элементы множества G индуцируют некоторые законы распределения q и r на множествах y и z. Что можно представить соответственно в виде:

элементы из y: y₁ y₂ y₃… y_j-1 y_j,

q₁ q₂ q₃… q_j-1 q_j;

элементы из z: z₁ z₂ z₃… z_k-1 z_k,

r₁ r₂ r₃… r_k-1 r_k.

При этом ∑ r_k.=1 и ∑ q_j.=1, где r_k. и q_j – вероятности перехода р-автомата в состояние z_k и появление сигнала y_j при условии, что автомат находился в состоянии z_s и на его вход поступил сигнал x_i. Если для всех k и j имеет место соотношение r_k.q_j= b_kj, то такой автомат называют вероятностным автоматом Мили. Это требование означает выполнения условия независимости распределений для нового состояния р-автомата и его выходного сигнала.

Пусть каждый элемент выходного подмножества y индуцирует распределение вероятностей выходов, имеющих следующий вид:

элементы из y: y₁ y₂ y₃… y_k-1 y_k,

s₁ s₂ s₃… s_T-1 s_T.

∑ s_i.=1, где s_i. – вероятность появления выходного сигнала y_i при условии, что р-автомат находится в состоянии z_k. Если для всех k и i имеет место соотношение z_ksi.= b_kj, то такой автомат называют вероятностным автоматом Мура.

Частным случаем р-автомата, задаваемым как Р=(z,x,y,В), является автомат у которого либо переход в новое состояние, либо выходной сигнал определяются детерминировано. Если выходной сигнал определяется детерминировано, то автомат называют у-детерминированным вероятностным автоматом. Задание у-детерминированного р-автомата эквивалентно заданию некоторой дискретной марковской цепи с конечным множеством состояний. Аппарат марковских цепей является основным при использовании р-схем для аналитических расчетов.

Аналогично z –детеминированным вероятностным автоматом называют р-автомат, у которого выбор нового состояния является детерминированным.

Непрерывно стохастические модели -класс математических схем, разработанных в теории массового обслуживания для формализации процессов функционирования систем обслуживания (процессы обработки технологических объектов, сборки, переработки). ГПС характеризуется случайным появлением на обработку, сборку ТО и завершением их в случайные моменты времени, т.е. наблюдается стохастический характер процесса функционирования ГПС. Типовая сложная СУ в целом является гибридной системой. Под гибридными системами понимаются системы, демонстрирующие как непрерывные, так и дискретные аспекты поведения

При обслуживании можно выделить две составляющих: ожидание заявок обслуживания и собственно обслуживание заявки. Комплекс по обслуживанию показан на рис.1. и состоит из накопителя заявок H_i в котором может одновременно находится l_i=0…L_i заявок (где L_i – емкость i-го накопителя) и выбора обслуживания заявок П_і. На каждый элемент комплекса обслуживания K_i поступают потоки событий: в накопитель H_i поток заявок ω_е, на прибор П_і – поток обслуживания u_i.

Интервалы времени между моментами появления заявок на входе П_і образует подмножество неуправляемых переменных, а поток обслуживания u_i Є u . интервалы времени между началом и окончанием обслуживания заявки. Образует подмножество управляемых переменных.

Заявки, обслуженные прибором П_і, и заявки не обслуженные комплексом K_i по разным причинам (например из-за переполнения накопителя H_i), образуют выходной поток y_i Є y, т.е. интервалы времени между моментами выхода заявок образуют подмножество выходных переменных.

Процесс функционирования обслуживающего комплекса K_i представляют как процесс изменения состояния его элементов во времени z_i(t). Переход в новое состояние K_i означает изменение числа заявок, которые в нем находятся. Вектор состояний для K_i имеет вид z_i= (zz) Число заявок в накопителе 0,1… L_i , а состояние прибора для обслуживания П_і 0 (свободен) и 1(занят). Оператор сопряжения R, отражает взаимосвязь приборов обслуживания и накопителей (параллельное или последовательное).

Для задания НСМ-схемы необходимо описать алгоритмы ее функционирования, которые определяют набор правил поведения заявок в системе в различных ситуациях. Различают алгоритмы ожидания заявок в накопителе и обслуживания заявок прибором, набор правил, по которым заявки покидают накопитель и прибор обслуживания.

В реальной системе неоднородность заявок учитывается с помощью введения классов приоритетов (статические и динамические). Статические приоритеты назначаются заранее и не зависят от состояний НСМ-схем. Динамические приоритеты зависят от ситуаций.

Правила покидания H_i (переполнения, истечения времени ожидания) и П_і (выбор маршрута или направления ухода) описываются оператором алгоритмов поведения заявок А.Наибольшими возможностями обладают имитационные модели, которые позволяют исследовать НСМ-схему НСМ=(W,U,H,z,Y,R,A) без ограничений.

Имитационное моделирование – это разработка и выполнение на компьютере программной системы, отражающей структуру и функционирование (поведение) моделируемого объекта или явления во времени. Имитационное моделирование имеет преимущество перед аналитическим моделированием в следующих случаях:

- отношения между переменными в модели нелинейные, поэтому аналитические модели невозможно построить;

- модель содержит стохастические компоненты;

- для понимания поведения системы требуется визуализация динамики происходящих в ней процессов;

- модель содержит много параллельно функционирующих взаимодействующих компонентов.

В настоящее время имитационное моделирование насчитывает четыре направления:

- моделирование динамических систем сложных объектов, поведение которых описывается системами алгебро-дифференциальных уравнений ( реализуется в инструментальной среде Simulink)Simulink– интерактивный инструмент для моделирования, имитации и анализа динамических систем. Он дает возможность строить графические блок-диаграммы, имитировать динамические системы, исследовать работоспособность систем и совершенствовать проекты. Simulinkполностью интегрирован с MATLAB, обеспечивая немедленный доступ к широкому спектру инструментов анализа и проектирования.

- дискретно событийное моделирование, в котором потоки пассивных заявок обрабатываются активными приборами (реализована в среде моделирования GPSS, в которой осуществляют моделирование систем массового обслуживания - СМО);

- системная динамика ;

- агентное моделирование.

Можно выделить следующие характерные особенности сложных технических систем []:

- элементы системы имеют разнородные физические принципы действия (электрические, механические, гидравлические, оптические и др. системы);

- между элементами системы, а также с внешней средой имеется множество связей, как информационных, так и физических:

- система имеет иерархическую многоуровневую структуру;

- имеется много различных режимов работы, причем эти режимы не совпадают, то есть, один режим работы одной подсистемы может требовать переключений режимов работы других подсистем;

- имеется значительная неопределенность в поведении объектов управления и внешней среды;

- устройства управления помимо задач обычного непрерывного управления решают также задачи логического управления, диагностики и др.;

- большая часть функций управления реализуется программно на встроенных ЭВМ и микропроцессорах;

- очень часто программное обеспечение и аппаратура разрабатываются одновременно;

часто состав и структура системы изменяется в ходе ее функционирования.

Дата добавления: 2014-11-24; просмотров: 377; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!