Пример 2. Найдем распределение времен свободного пробега электрона металла

Найдем распределение времен свободного пробега электрона металла.

Металлы первой группы элементов таблицы Менделеева содержат в электронной оболочке один слабо связанный с атомом валентный электрон. При объединении атомов в кристаллическую решетку этот электрон становится свободным. В узлах кристаллической решетки металла остаются ионы, которые совершают тепловые колебания. Валентные электроны образуют идеальный газ с концентрацией . В любом макроскопическом объеме имеется одинаковое число положительных и отрицательных зарядов, поэтому на электрон не действуют электростатические силы. Благодаря тепловому движению электрон хаотически перемещается от столкновения с ионом до столкновения с другим ионом. При нормальной температуре средняя скорость теплового движения ~100 км/с.

При термодинамическом равновесии процессы стационарные и вероятность b столкновения электрона за единицу времени не зависит от момента t. За время dt вероятность столкновения равна

.

Функция распределения времен свободного пробега w(t) равна вероятности того, что время свободного движения лежит в единичном интервале около значения t.

Вероятность свободного движения до момента t и столкновения в следующий промежуток dt по теореме умножения вероятностей независимых событий равна

,

и является уменьшением вероятности свободного движения при переходе от t к . В результате для вероятности свободного движения получаем

.

Разделяем переменные

,

интегрируем

,

где – вероятность, что время свободного движения лежит в единичном интервале около нуля. Получаем

,

потенцируем

.

Нормируем плотность вероятности

,

тогда

, .

Среднее время свободного пробега

(П.1.22)

обратно вероятности столкновения электрона за единицу времени. При нормальной температуре . В результате функция распределения времен свободного пробега

. (П.1.23)

Следовательно, вероятность свободного движения в течение времени t уменьшается экспоненциально с ростом t.

Среднеквадратичное время свободного пробега

(П.1.23а)

равно удвоенному квадрату среднего времени свободного пробега, где интеграл вычислен по частям.

Дата добавления: 2014-02-27; просмотров: 288; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!