Линейные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Общий вид:

(11)

Здесь - константы, - функция. При уравнение

(12)

называется однородным, иначе – неоднородным.

Существует единственное решение уравнения (11). Удовлетворяющее начальным условиям:

где - числа.

Линейной комбинацией функций и называется выражение вида

где С₁, С₂ – произвольные коэффициенты.

Функция и называются линейно независимыми, если их линейная комбинация равна нулевой функции только в случае С₁=С₂=0, в противном случае функция и называются линейно зависимыми.

Рассмотрим решение однородного уравнения (12).

Все решения здесь обладают структурой линейного пространства: если , - решения (12), то и их линейная комбинация – тоже решение этого уравнения. Чтобы доказать это, достаточно подставить эту линейную комбинацию в уравнение (12).

Теорема. Если и - линейно независимые частные решения уравнения (12), то общее решение этого уравнения является линейной комбинацией этих частных решений.

Будем искать решение уравнения (12) в форме

, (13)

где - некоторое действительное число. Подставим в (12), получим

Функция (13) является решением (12). Если есть корень уравнения:

(14)

которое называется характеристическим уравнением исходного уравнения (12).

Теорема. Пусть уравнение (14) имеет действительные корни

Тогда общее решение (12) имеет вид:

, (15)

где С₁, С₂ – некоторые числа;

Если уравнение имеет кратный корень , то общее решение имеет вид:

, (16)

где С₁, С₂ –некоторые числа;

Если уравнение (14) не имеет действительных корней, то общее решение (12) имеет вид:

, (17)

где - некоторые числа.

Пример. Найти частное решение уравнения при начальных условиях Решаем характеристическое уравнение находим корни Общее решение имеет вид:

Найдём такие значения констант, при которых выполняются заданные начальные условия:

Решаем систему: ; получаем С₁=2; С₂=1. Отсюда

Неоднородное уравнение (11) может быть решено методом вариации произвольных постоянных. Сначала находится общее решение уравнения (12), имеющего ту же левую часть, что и исходное уравнение (11). Затем решение уравнения (11) находится в виде , т.е. предполагается, что С₁ и С₂ являются функциями независимой переменной х. При этом функции С₁(х) и С₂(х) могут быть найдены из решения системы

Пример. Решить уравнение

Решение однородного уравнения имеет вид Пусть С₁, С₂ - функции х, найдём решение методом вариации из системы:

Отсюда Это уравнения с разделяющимися переменными. Решение: некоторые постоянные.

Окончательное решение:

Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (11) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (12) и частного решения исходного уравнения (11).

Вопросы для самоконтроля знаний:

1. Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными.

2. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Дата добавления: 2014-02-28; просмотров: 810; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!