Студопедия

Главная страница Случайная лекция


Мы поможем в написании ваших работ!

Порталы:

БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика



Мы поможем в написании ваших работ!




Необходимое условие локального экстремума

Читайте также:
  1. Административно-территориальное условие
  2. Взаимодействие человека с природой как условие его жизнедеятельности: экологические закономерности
  3. Вопрос 2. Расчетное время эвакуации. Необходимое время эвакуации.
  4. Грузы в контейнерах и пакетах как предмет и основное условие комплексной механизации и автоматизации транспортно-складских работ
  5. Грузы в контейнерах и пакетах как предмет и основное условие комплексной механизации и автоматизации транспортно-складских работ (часть 2)
  6. Грузы в контейнерах и пакетах как предмет и основное условие комплексной механизации и автоматизации транспортно-складских работ (часть 3)
  7. Добровольное страхование сельскохозяйственной продукции или капитальных активов не может быть обязательным условием при реализации других правоотношений.
  8. Концепция локального и рабочего множества программ в системах с виртуальной памятью.
  9. Лекция №2 «Нормальные напряжения при чистом изгибе. Закон Гука при изгибе. Условие прочности при изгибе».
  10. Лекция №6 «Продольный изгиб. Формула Эйлера. Условие устойчивости сжатых стержней».

Локальный экстремум функции многих переменных.

Точкой локального экстремума функции называется такая точка, для которой в области существует окрестность, в которой разность не меняет знак. В частности, точка является точкой минимума, если , и точка является точкой максимума, если .

 

Пусть – точка экстремума, и функция дифференцируема в точке . Рассмотрим функцию одной переменной , где – любое натуральное число между 1 и . Эта функция имеет точкой экстремума точку , и значит, . Следовательно, необходимым условием экстремума функции многих переменных в точке , где она дифференцируема, является следующее условие: . Точка, в которой все частные производные первого порядка данной функции равны нулю, называется критической точкой этой функции.

 

Достаточное условие локального экстремума.

Выполнение необходимого условия экстремума не обязательно обеспечивает действительное наличие экстремума в точке, то есть, критическая точка функции может не быть точкой локального экстремума. В качестве примера рассмотрим функцию двух переменных . Критической точкой для этой функции является точка (0,0). Однако эта точка является не экстремальной, а седловой.

Для того чтобы выяснить, достигается ли в критической точке экстремум и какой, следует обратиться к дифференциалу второго порядка в этой точке. Итак, пусть – критическая точка для функции многих переменных . В этом случае . В соответствии с формулой Тейлора

где .

Поэтому знак разности в окрестности точки определяется знаком дифференциала второго порядка в точке при всевозможных малых приращениях .

Второй дифференциал функции в точке представляет собой квадратичную форму относительно переменных . Поэтому исследование вопроса о наличии экстремума сводится к исследованию вопроса о сохранении знака квадратичной формы, а значит, к вычислению угловых миноров соответствующей матрицы из коэффициентов.

 

Рассмотрим случай . Пусть критическая точка имеет координаты . Рассмотрим приращение функции в окрестности этой точки:

Если при любом сочетании бесконечно малых приращений выражение в квадратных скобках не меняет знак, то данная критическая точка является точкой локального экстремума. Вынесем за квадратную скобку множитель . Знак приращения функции совпадает со знаком квадратного трехчлена

относительно . Как известно, квадратный трехчлен не меняет знак в том случае, если не имеет корней, то есть если его дискриминант отрицателен. В случае отрицательного дискриминанта знак квадратного трехчлена определяется знаком коэффициента при наибольшей степени (или знаком свободного члена). Таким образом, критическая точка с координатами является точкой локального экстремума, если . При этом мы имеем точку минимума, если , и точку максимума, если .


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Каскадное соединение согласованных | Локальный экстремум в случае функции трех и более числа переменных

Дата добавления: 2014-03-03; просмотров: 489; Нарушение авторских прав




Мы поможем в написании ваших работ!
lektsiopedia.org - Лекциопедия - 2013 год. | Страница сгенерирована за: 0.004 сек.