Локальный экстремум функции многих переменных.
Точкой локального экстремума функции
называется такая точка
, для которой в области
существует окрестность, в которой разность
не меняет знак. В частности, точка
является точкой минимума, если
, и точка
является точкой максимума, если
.
Пусть
– точка экстремума, и функция
дифференцируема в точке
. Рассмотрим функцию одной переменной
, где
– любое натуральное число между 1 и
. Эта функция имеет точкой экстремума точку
, и значит,
. Следовательно, необходимым условием экстремума функции многих переменных
в точке
, где она дифференцируема, является следующее условие:
. Точка, в которой все частные производные первого порядка данной функции равны нулю, называется критической точкой этой функции.
Достаточное условие локального экстремума.
Выполнение необходимого условия экстремума не обязательно обеспечивает действительное наличие экстремума в точке, то есть, критическая точка функции может не быть точкой локального экстремума. В качестве примера рассмотрим функцию двух переменных
. Критической точкой для этой функции является точка (0,0). Однако эта точка является не экстремальной, а седловой.

Для того чтобы выяснить, достигается ли в критической точке экстремум и какой, следует обратиться к дифференциалу второго порядка в этой точке. Итак, пусть
– критическая точка для функции многих переменных
. В этом случае
. В соответствии с формулой Тейлора
где
.
Поэтому знак разности
в окрестности точки
определяется знаком дифференциала второго порядка в точке
при всевозможных малых приращениях
.
Второй дифференциал функции в точке представляет собой квадратичную форму относительно переменных
. Поэтому исследование вопроса о наличии экстремума сводится к исследованию вопроса о сохранении знака квадратичной формы, а значит, к вычислению угловых миноров соответствующей матрицы из коэффициентов.
Рассмотрим случай
. Пусть критическая точка имеет координаты
. Рассмотрим приращение функции в окрестности этой точки: 
Если при любом сочетании бесконечно малых приращений
выражение в квадратных скобках не меняет знак, то данная критическая точка является точкой локального экстремума. Вынесем за квадратную скобку множитель
. Знак приращения функции совпадает со знаком квадратного трехчлена 
относительно
. Как известно, квадратный трехчлен не меняет знак в том случае, если не имеет корней, то есть если его дискриминант отрицателен. В случае отрицательного дискриминанта знак квадратного трехчлена определяется знаком коэффициента при наибольшей степени (или знаком свободного члена). Таким образом, критическая точка с координатами
является точкой локального экстремума, если
. При этом мы имеем точку минимума, если
, и точку максимума, если
.