Необходимое условие локального экстремума

Локальный экстремум функции многих переменных.

Точкой локального экстремума функции называется такая точка, для которой в области существует окрестность, в которой разность не меняет знак. В частности, точка является точкой минимума, если , и точка является точкой максимума, если .

Пусть – точка экстремума, и функция дифференцируема в точке . Рассмотрим функцию одной переменной , где – любое натуральное число между 1 и . Эта функция имеет точкой экстремума точку , и значит, . Следовательно, необходимым условием экстремума функции многих переменных в точке , где она дифференцируема, является следующее условие: . Точка, в которой все частные производные первого порядка данной функции равны нулю, называется критической точкой этой функции.

Достаточное условие локального экстремума.

Выполнение необходимого условия экстремума не обязательно обеспечивает действительное наличие экстремума в точке, то есть, критическая точка функции может не быть точкой локального экстремума. В качестве примера рассмотрим функцию двух переменных . Критической точкой для этой функции является точка (0,0). Однако эта точка является не экстремальной, а седловой.

Для того чтобы выяснить, достигается ли в критической точке экстремум и какой, следует обратиться к дифференциалу второго порядка в этой точке. Итак, пусть – критическая точка для функции многих переменных . В этом случае . В соответствии с формулой Тейлора

где .

Поэтому знак разности в окрестности точки определяется знаком дифференциала второго порядка в точке при всевозможных малых приращениях .

Второй дифференциал функции в точке представляет собой квадратичную форму относительно переменных . Поэтому исследование вопроса о наличии экстремума сводится к исследованию вопроса о сохранении знака квадратичной формы, а значит, к вычислению угловых миноров соответствующей матрицы из коэффициентов.

Рассмотрим случай . Пусть критическая точка имеет координаты . Рассмотрим приращение функции в окрестности этой точки:

Если при любом сочетании бесконечно малых приращений выражение в квадратных скобках не меняет знак, то данная критическая точка является точкой локального экстремума. Вынесем за квадратную скобку множитель . Знак приращения функции совпадает со знаком квадратного трехчлена

относительно . Как известно, квадратный трехчлен не меняет знак в том случае, если не имеет корней, то есть если его дискриминант отрицателен. В случае отрицательного дискриминанта знак квадратного трехчлена определяется знаком коэффициента при наибольшей степени (или знаком свободного члена). Таким образом, критическая точка с координатами является точкой локального экстремума, если . При этом мы имеем точку минимума, если , и точку максимума, если .