Студопедия

Главная страница Случайная лекция


Мы поможем в написании ваших работ!

Порталы:

БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика



Мы поможем в написании ваших работ!




Синтез цифровых компенсаторов перекрестных связей из условия автономности

Читайте также:
  1. Hарушение условия кругового ожидания
  2. I 4. Условия эффективности педагогической оценки
  3. III. Безопасность в условиях технологичных чрезвычайных ситуаций (ТЧС).
  4. PR в России: становление и развитие. Роль связей с общественностью в современном гражданском обществе и рыночной экономике. Российский рынок PR услуг.
  5. VI. Условия для игры.
  6. Активными (заданными) силами называют силы, не зависящие от связей.
  7. Алгоритм синтеза многосвязных автономно-инваринатных ЦСУ
  8. Анализ и синтез в моделировании
  9. Анализ инвестиционных проектов в условиях инфляции
  10. Анализ статистических связей между показателями.

 

Использование первого подхода для синтеза связанной ЦСУ предполагает выполнение в качестве первого этапа расчет цифровых компенсаторов перекрестных связей из условия автономности.

Далее покажем, что для объекта любой размерности (r>2) расчет передаточных функций компенсаторов перекрестных связей будет осуществляться по совершенно другим зависимостям, отличающимся от рассмотренного в разделе 2.6 двумерного случая.

Более того, выражения для расчета передаточных функций компенсаторов, удовлетворяющих условию автономности, зависят от размерности объекта управления и для каждого конкретного r имеют свой определенный вид.

Поэтому возникает задача получения такого универсального алгоритма расчета компенсаторов, который может быть применен для систем высокого порядка (r>2) на основе матричной формы описания многомерного объекта.

Рассмотрим r-мерную систему (рис. 4.5) связанного управления (2).


Рис. 4.5. Структурная схема системы связанного управления

r-мерным объектом (подход I)

В векторно-матричной форме система уравнений, описывающих ее поведение, имеет вид:

е=yз-y,

uu=Wрu·е,

u=Wкu·uu, (4.28)

y=Wоu·u,

где е=[е[1](z),…,е[r](z)]Т – вектор ошибок управления;

yз=[yз[1](z),…,yз[r](z)]Т – вектор заданий;

y=[y[1](z),…,y[r](z)]Т – вектор выходов ОУ;

иu=[иu[1][1](z),…,иu[r][r](z)]Т – вектор выходов основных регуляторов;

и=[и[1](z),…,и[r](z)]Т – вектор управляющих воздействий;

Wоu – матрица дискретных передаточных функций объекта по основным и перекрестным каналам, rr;

Wрu, Wкu – диагональная матрица дискретных передаточных функций регуляторов и матрица дискретных передаточных функций компенсаторов, rr; z – оператор временного сдвига.

Wоu=;

Wрu=;

Wкu=.

===

=– дискретная передаточная функция объекта по основным (i=j) и перекрестным (ij) каналам;

===

==

=– дискретная передаточная функция j-го регулятора;

===

==

=– дискретная передаточная функция компенсатора перекрестной связи (ij);

, , – параметры и число тактов запаздывания дискретной передаточной функции регулятора (i=j) или компенсатора (ij);

, – порядки числителя и знаменателя дискретной передаточной функции регулятора (i=j) или компенсатора (i≠j); uu[i][j](z) – выходы регуляторов (i=j) и компенсаторов (i≠j);

i, j=.

Используя уравнения системы (4.28), выполним ряд преобразований:

y=Wоu·Wкu·Wрu·(yз-y),

y=Wоu·Wкu·Wрu·yз-Wоu·Wкu·Wрu·y,

y+Wоu·Wкu·Wрu·y=Wоu·Wкu·Wрu·yз,

(I+Wоu·Wкu·Wрuy=Wоu·Wкu·Wрu·yз,

y=(I+Wоu·Wкu·Wрu)-1·Wоu·Wкu·Wрu·yз, (4.29)

где I – единичная матрица, rr.

Уравнение (4.29) является решением (4.28) и позволяет определить функциональную зависимость выходов ОУ (элементов y) от входов системы (элементов yз).

Векторно-матричная форма записи позволяет получить в компактном виде условие автономности для системы (рис. 4.5).

Условие автономности выполняется, если матрица (I+Wоu·Wкu·Wрu) – диагональная. Так как I – диагональная матрица, следовательно, и произведение (Wоu·Wкu·Wрu) также должно быть диагональной матрицей, т.е. все недиагональные элементы равны нулю:

R=Wоu·Wкu·Wрu, (4.30)

где R=– диагональная матрица, rr; diag[R]=diag[Wоu·Wкu·Wрu].

Поскольку Wрu – диагональная матрица, то из (4.30) следует, что матрица R будет диагональной в том случае, если произведение (Wоu·Wкu) также является диагональной матрицей.

Существует несколько подходов к диагонализации матрицы (Wоu·Wкu) при расчете компенсаторов.

=

(4.31)

При первом подходе, приравнивая нулю недиагональные элементы полученной матрицы (на основании предъявляемого требования о диагональности), приходим к системе неоднородных линейных уравнений относительно искомых дискретных передаточных функций компенсаторов:

(4.32)

Систему (4.32) можно представить векторно-матричным уравнением:

Wоu авт·Wкu авт+Wоuu авт=0, (4.33)

где Wоu авт – блочная матрица, элементами которой являются матрицы дискретных передаточных функций основных и перекрестных каналов объекта;

Wкu авт – блочный вектор, элементами которого являются векторы дискретных передаточных функций компенсаторов;

Wоuu авт – блочный вектор, элементами которого являются векторы дискретных передаточных функций перекрестных каналов объекта;

0 – нулевой вектор, (r-1)·r.

Wоu авт=;

Wкu авт=; Wоuu авт=,

где Wоu авт[i] – матрица, получаемая из матрицы Wоu вычеркиванием i-ой строки и i-го столбца, (r-1)(r-1);

Wкu авт[i] – вектор, получаемый из i-го столбца матрицы Wкu вычеркиванием i-ой строки, (r-1);

Wоuu авт[i] – вектор, получаемый из i-го столбца матрицы Wоu вычеркиванием i-ой строки, (r-1).

Если матрица Wоu авт не вырождена, то существует единственное решение уравнения (4.33), определяемое по формуле:

Wкu авт=-(Wоu авт)-1·Wоuu авт. (4.34)

Полученная зависимость (4.34) позволяет выполнить расчет дискретных передаточных функций компенсаторов из условия автономности.

Повышение числа управляемых величин объекта приводит к резкому увеличению размерности Wоu авт. А поскольку возможности любого математического пакета программ (MathCad, MathLab, Maple) ограничены, то решение (4.34) может оказаться не реализуемым. В этом случае предлагается второй способ к расчету дискретных передаточных функций компенсаторов. Анализ уравнения (4.33) показывает, что оно распадается на r подсистем, каждая из которых имеет вид:

Wоu авт[i]·Wкu авт[i]+Wоuu авт[i]=0, i=. (4.35)

Очевидно, что каждое решение уравнения (4.33) порождает единственное решение всех подсистем вида (4.35) и наоборот каждая совокупность решений подсистем вида (4.35) образует одно решение уравнения (4.33).

Решение i-ой подсистемы (4.35) позволяет рассчитывать (r-1) компенсаторов, подключенных к выходу i-го регулятора, и как вытекает из (4.35), находится по формуле:

Wкu авт[i]=-(Wоu авт[i])-1·Wоuu авт[i]. (4.36)

Зависимость (4.36) позволяет свести решение системы большой размерности (4.33) к последовательному решению r подсистем значительно меньшей размерности (в r раз). Благодаря этому становится возможным расчет дискретных передаточных функций компенсаторов из условия автономности для системы любого порядка с использованием выбранного математического пакета или системы программирования.

Рассмотрим пример, позволяющий уяснить реализацию полученного алгоритма расчета компенсаторов. Определим передаточные функции цифровых компенсаторов двумерной системы управления по формуле (4.34). Для этого запишем исходные матрицы:

Wоu=, Wкu=.

Составим блочную матрицу Wоu авт и блочные векторы Wкu авт и Wоuu авт.

Wоu авт=.

Из матрицы Wоu получаем:

Wоu авт[1]=,

Wоu авт[2]=.

Отсюда: Wоu авт=,

Wкu авт=.

Из матрицы Wкu получим:

Wкu авт[1]=,

Wкu авт[2]=.

Откуда: Wкu авт=,

Wоuu авт=.

Из матрицы Wоu получим:

Wоuu авт[1]=,

Wоuu авт[2]=.

Отсюда: Wouu авт=.

Используя (4.34) получим первым способом передаточные функции компенсаторов:

Wкu авт==-=

=-=

==.

Используя формулу (4.36), вторым способом получим:

Wкu авт[1]=Wкu[1][2](z)=-=

=-,

Wкu авт[2]=Wкu[2][1](z)=-=

=-.

Передаточные функции компенсаторов двумерной связанной ЦСУ, полученные двумя способами, удовлетворяют условию автономности [11], что подтверждает справедливость установленных зависимостей (4.34), (4.36).

Рассмотрим трехмерную систему управления и получим дискретные передаточные функции компенсаторов перекрестных связей по формуле (4.34).

Wоu=,

Wкu=.

Составим блочную матрицу Wоu авт и блочные векторы Wкu авт и Wоuu авт:

Wоu авт=,

Wкu авт=, Wоuu авт=.

Из матриц Wоu и Wкu получим матрицы Wоu авт[i] и векторы Wкu авт[i], Wоuu авт[i], i=:

Wоu авт[1]=,

Wоu авт[2]=,

Wоu авт[3]=,

Wкu авт[1]=, Wкu авт[2]=,

Wкu авт[3]=,

Wоuu авт[1]=, Wоuu авт[2]=,

Wоuu авт[3]=.

После подстановки их в блочные Wоu авт, Wкu авт и Wоuu авт, имеем:

Wоu авт = =,

Wкu авт=, Wоuu авт=.

В этом случае получим:

Wкu авт=-(Wоu авт)-1·Wоuu авт=

=-

.

Для расчета Wкu авт по формуле (4.34) найдем обратную матрицу для трехмерной системы:

(Wоu авт)-1=,

где Wоад – матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения элементов матрицы Wоu авт.

Вычислим определитель матрицы Wоu авт:

|Wоu авт|=

=Wоu [2][2](z

Wоu [3][2](z=

=Wоu [2][2](zWоu [3][3](z

Wоu [3][2](zWоu [2][3](z=

=(Wоu [2][2](zWоu [3][3](z)–Wоu [3][2](zWоu [2][3](z))

.

Обозначим Δ1=(Wоu [2][2](zWоu [3][3](z)–Wоu [3][2](zWоu [2][3](z)), тогда:

|Wоu авт|=Δ1·=

=

1·

=

1·(Wоu [1][1](zWоu [3][3](z)–Wоu [3][1](zWоu [1][3](z))

(Wоu [1][1](zWоu [2][2](z)–Wоu [2][1]·Wоu [1][2])=Δ1·Δ2·Δ3,

где Δ2=(Wоu [1][1](zWоu [3][3](z)–Wоu [3][1](zWоu [1][3](z)),

Δ3=(Wоu [1][1](zWоu [2][2](z)–Wоu [2][1](zWоu [1][2](z)).

Таким образом |Wоu авт|=Δ1·Δ2·Δ3.

Для получения матрицы Wоад алгебраических дополнений транспонируем матрицу Wоu авт:

(Wоu авт)Т=

=.

Составим матрицу Wоад алгебраических дополнений. У всех нулевых элементов матрицы (Wоu авт)Т алгебраические дополнения будут нулевыми:

Wоад=

Найдем обратную матрицу (Wоu авт)-1:

(Wоu авт)-1==

Получим передаточные функции компенсаторов по формуле (4.34):

Wкu авт==

.

Для компенсатора Wкu [1][2](z):

Wкu [1][2](z)==

=.

Аналогично получаем передаточные функции остальных компенсаторов.

Отсюда:

.

Найдем передаточные функции компенсаторов, используя зависимость (4.36). Рассчитаем дискретные передаточные функции первой группы компенсаторов:

Wкu авт[1]= –(Wоu авт[1])-1·Wоuu авт[1],

Wкu авт[1]==

= –=

= –

=

Для второй группы компенсаторов:

Wкu авт[2]= –(Wоu авт[2])-1·Wоuu авт[2],

Wкu авт[2]==

= –=

= –

=

=.

Для третьей группы компенсаторов:

Wкu авт[3]= –(Wоu авт[3])-1·Wоuu авт[3],

Wкu авт[3]==

= –=

= –

=

=.

Второй подход к диагонализации матрицы (Wоu·Wкu) заключается в решении векторно-матричного уравнения вида:

Wоu·Wкu=W ж, (4.37)

откуда передаточные функции компенсаторов перекрестных связей рассчитываются следующим образом:

Wкu=(Wоu)-1·W ж, (4.38)

где W ж – диагональная матрица желаемых передаточных функций.

В качестве примера, позволяющего уяснить реализацию полученного алгоритма расчета компенсаторов, определим передаточные функции цифровых компенсаторов двумерной системы управления. Для этого запишем исходные матрицы:

Wоu=, W ж=.

Используя (4.38) получим передаточные функции компенсаторов:

Wкu==

=

=

=

=

Отсюда:

Wкu=.

Число компенсаторов для двумерной системы увеличилось на два по сравнению с первым подходом за счет введения компенсаторов прямой связи по основным каналам.

Рассмотрим трехмерную систему управления:

Wоu=,

W ж=.

Используя (4.38) получим передаточные функции компенсаторов:

Wкu=

.

Выполнив обращение и перемножив матрицы, получим следующие выражения для передаточных функций компенсаторов перекрёстных связей:

,

где

Wкu=.

Число компенсаторов увеличилось на три, то есть при втором подходе количество компенсаторов увеличивается на число равное размерности системы.

Анализ выражений (4.34), (4.36) и (4.38) и примеров расчета компенсаторов перекрестных связей позволяет указать достоинства и недостатки каждого из подходов.

Достоинством первого подхода по сравнению со вторым является:

1. Более простая структура передаточных функций (соответственно и разностных уравнений) компенсаторов перекрестных связей;

2.
Меньшее число компенсаторов перекрестных связей. При использовании второго подхода их число увеличивается за счет введения компенсаторов по основным каналам, которые показаны на рис. 4.6 пунктирными линиями:

Рис. 4.6. Структурная схема системы связанного управления

r-мерным объектом (подход II)

Достоинством второго подхода по сравнению с первым является:

1. Возможность расчета таких компенсаторов перекрестных связей, которые обеспечивают требуемые динамические свойства системы управления, что определяется выбором W ж.

Использование зависимости (4.38) обеспечивает расчет компенсаторов перекрестных связей, при которых произведение Wоu·Wкu равно W ж. Тогда уравнение (4.29) примет вид:

y=(I+W ж·Wрu)-1·W ж·Wрu·yз. (4.39)

Отсюда:

=. (4.40)

Из выражения (4.40) следует, что выбирая в качестве диагональных элементов матрицы W ж желаемые передаточные функции и оптимизируя по ним основные регуляторы, тем самым обеспечивается независимость управляемых величин друг от друга и требуемые динамические свойства системы по каналам: задающее воздействие – управляемая величина.

Отсюда получаем еще одно достоинство второго подхода:

2. Отсутствие необходимости расчета передаточных функций эквивалентных объектов для оптимизации настроек основных регуляторов (см. разд. 4.2.2).

Что же касается недостатков описанных подходов, то они противоположны достоинствам каждого из них.

 


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Разработка алгоритмов синтеза управляющей части цифровой системы | Оптимизация цифровых регуляторов при выполнении условия автономности

Дата добавления: 2014-03-11; просмотров: 514; Нарушение авторских прав




Мы поможем в написании ваших работ!
lektsiopedia.org - Лекциопедия - 2013 год. | Страница сгенерирована за: 0.029 сек.