Локальная теорема Муавра-Лапласа

Поэтому, когда число испытаний велико, для вычисления вероятности P_m,n(A) применять формулу Бернулли нецелесообразно. Нужны формулы, по которым достаточно точные значения вероятностей P_m,n (A) находились бы при сравнительно несложных вычислениях. Такими формулами являются формулы Муавра - Лапласа и Пуассона. Эти формулы являются асимптотическими.

Теорема. Если вероятность наступления события А в каждом из n испытаний постоянна и равна р, причем отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность P_m,n (A) того, что при n независимых испытаниях событие А наступит m раз, приближенно равна: ,где функция определяется равенством , .

Теорему рассмотрим без доказательства, так как строгое доказательство ее выходит за рамки математического аппарата, который положен в основу настоящего пособия.

Итак, , где .

С возрастанием n относительная точность вычисления вероятностей , получаемых по формуле Муавра - Лапласа, возрастает. Если выполняется условие , то вычисления по рассматриваемой формуле дают приемлемую точность.

Для упрощения расчетов по формуле Муавра - Лапласа составлена таблица значений функции (прил. 1). Пользуясь данной таблицей, необходимо иметь в виду свойства этой функции, а именно:

1) функция - четная, то есть . Поэтому в таблице приведены значения функции только для положительных значений аргумента;

2) функция - монотонно убывающая при положительных значениях х. Уже при х=5 Следовательно, при можно считать, что . Поэтому таблица значений функции приводится только для .

Дата добавления: 2014-09-01; просмотров: 559; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!