Главная страница Случайная лекция Мы поможем в написании ваших работ! Порталы: БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика Мы поможем в написании ваших работ! |
Проекционно-сеточный метод
Основная идея метода заключается в том, что на участках оси независимой переменной τ в качестве решения y принимается функция определенного типа, но с неизвестными пока параметрами (коэффициентами). Выражения для функции и ее производных подставляются в решаемое уравнение. Записывается выражение для функционала S, который представляет собой сумму квадратов невязок (разностей значений правой и левой частей уравнения) для ряда значений независимой переменной. Коэффициенты аппроксимирующей функции находятся путем минимизации функционала S. Можно использовать либо методы безусловной оптимизации, либо прямые методы (что будет рассмотрено далее).
Решение обыкновенного дифференциального уравнения 1го порядка: (2.23) где А, В – заданные коэффициенты уравнения, F – воздействие. В качестве функции аппроксимирующей решение y на каждом интервале интегрирования чаще всего принимается полином knой степени: (2.24) Соответственно выражения для производной: (2.25) где a1¸akn – коэффициенты полинома, подлежащие определению. Значения коэффициента а0 определяется из удовлетворения начальному условию или решению полученному на предыдущем интервале интегрирования: (2.26) Подставляя выражения для y, y¢в решаемое уравнение получим: (2.27) Сумма квадратов невязок (разностей значений правой и левой частей уравнения) по всем точкам рассматриваемого интервала интегрирования (j=0¸m) имеет вид: (2.28) Значение функционала S будет минимальным при выполнении условий: (2.29) Удовлетворяя каждому приведенному условию можно записать СЛАУ имеющую коэффициенты матрицы (МА) и элементы вектора правой части (МВ) определяемые зависимостями: (2.30) где L – индекс строки матрицы (line), C – индекс столбца (column). В общем случае 1 £ L £ kn, 1 £ C £ kn. Для дифференциального уравнения первого порядка решение которого аппроксимируется полиномом, порядок матрицы численно равен порядку аппроксимирующего полинома. Решив полученную СЛАУ найдем значения коэффициентов полинома a1¸akn. Следует отметить, что при постоянных значениях коэффициентов уравнения A, B и при фиксируемых значениях Δτ и m коэффициенты матрицы MAL,C одинаковы для всех интервалов интегрирования, а изменяются только значения MBL. Рассмотрим конкретный пример аппроксимации решения полиномом третьего порядка. (2.31) Подставим аппроксимирующую функцию и ее производную в решаемое уравнение: Сумма квадратов невязок для точек интервала Δτ: Удовлетворяя условиям: получим СЛАУ третьего порядка. Рассмотрим первое условие: После формальных преобразований получим первое уравнение СЛАУ: Аналогично получаем второе и третье уравнения: Решение обыкновенного дифференциального уравнения 2го порядка: (2.32) где А, В, D – заданные коэффициенты уравнения, F – воздействие. Выражения для аппроксимирующей функции и ее производных: где a2¸akn – коэффициенты полинома, подлежащие определению. Значения коэффициентов а0 и а1 определяются из удовлетворения начальным условиям или решению полученному на предыдущем интервале интегрирования: Подставляя выражения для y, y¢ и y¢¢ в решаемое уравнение получим: Сумма квадратов невязок для точек рассматриваемого интервала интегрирования (j=0¸m) имеет вид: Выполняя условия: получим выражения для коэффициентов матрицы МА и элементов вектора правой части МВ: где L – индекс строки матрицы (line), C – индекс столбца (column). В общем случае 1 £ L £ (kn-1), 1 £ C £ (kn-1). Для дифференциального уравнения второго порядка, решение которого аппроксимируется полиномом, порядок матрицы на единицу меньше порядка аппроксимирующего полинома. При постоянных значениях коэффициентов уравнения A, B, D и при фиксируемых значениях Δτ и m коэффициенты матрицы MAL,C одинаковы для всех интервалов интегрирования, а изменяются только значения MBL.
Дата добавления: 2014-10-10; просмотров: 407; Нарушение авторских прав Мы поможем в написании ваших работ! |