Степени свободы и обобщенные координаты

Число независимых координат, полностью определяющих положение точки в пространстве, называют числом степеней свободы. Если точка свободно движется в пространстве, она обладает 3 степенями свободы, если она движется по некоторой поверхности - 2 степенями свободы, если вдоль некоторой линии – 1 степенью свободы.

Все вышесказанное можно обобщить на случай механической системы, состоящей из n материальных точек. Если эти точки могут перемещаться в пространстве без всяких ограничений, то для определения их мгновенного положения надо задать 3n координат.

Не обязательно в качестве независимых координат брать прямоугольные декартовы координаты. Для этой цели могут быть использованы любые f величин: q₁, q₂,… q_f, заданием которых положение материальных точек определяется однозначно. Такие величины называют обобщенными координатами. Производные от обобщенных координат по времени t называют обобщенными скоростями. Так положение материальной точки при ее вращении по окружности можно задать значением центрального угла φ, который радиус-вектор вращающейся точки образует с его положением в некоторый момент времени (например, t=0).

Движение системы определяется полностью, если обобщенные координаты будут найдены как функция времени.

Любое движение твердого тела можно представить как комбинацию поступательного и вращательного движения. Поступательное движение – это движение, при котором любая прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается параллельной самой себе.

При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Ось вращения может находиться и вне тела.

Материальная точка при своем движении описывает некоторую линию. Эта линия называется траекторией. В зависимости от формы траектории различают движение прямолинейное, криволинейное, движение по окружности и др.

Сделаем рисунок. Пусть материальная точка движется по криволинейной траектории. В начальный момент времени точка находится в т. А, через некоторое время Δt – в т.В. Длина участка траектории АВ, пройденного материальной точкой за время Δt, называется длиной пути Δs и является скалярной функцией времени ΔS = ΔS(t).

Вектор , проведенный из начального положения точки в ее конечное положение, называется перемещением точки (вектором перемещения).

Таким образом, перемещение точки характеризуется численным значением и направлением. Если движение прямолинейное, то вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории и модуль вектора перемещения равен пройденному пути / /= ΔS.

Скорость – характеристика движения материальной точки, которая определяет быстроту движения и его направление в данный момент времени.

Вектором средней скорости называют отношение перемещения (приращения радиус-вектора точки) к промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло: = / Δt (см рис.). Направление вектора средней скорости совпадает с направлением вектора перемещения .

Мгновенной скоростью называют (Δt→0), т.е. первую производную радиус-вектора по времени.

Вектор скорости, как и любой другой вектор, можно представить в виде , но .

Из сравнений этих выражений вытекает, что , т.е. проекции вектора скорости на координатные оси равны производным по времени соответствующей координаты движущейся частицы.

Приняв во внимание, что = , получим .

Модуль мгновенной скорости определяется выражением , т.е. это первая производная пути по времени. При Δt→0 ≈ΔS.

Если за сколь угодно малые равные промежутки времени частица проходит по траектории одинаковые расстояния, движение частицы называют равномерным.

При неравномерном движении модуль мгновенной скорости с течением времени меняется. Поэтому для характеристики неравномерного движения используют скалярную величину – среднюю скорость неравномерного движения .

Длину пути, пройденного точкой за время Δt, можно определить интегрированием уравнения : .

Скорость движения материальной точки может изменяться как по модулю, так и по направлению. Быстрота изменения скорости по модулю и направлению характеризуется ускорением.

Средним ускорением неравномерного движения называют векторную величину, равную отношению вектора изменения скорости к интервалу времени Δt, за который это изменение произошло .

Вектор среднего ускорения совпадает по направлению с вектором изменения скорости .

Мгновенным ускорением материальной точки в момент времени t называют предел среднего ускорения , , т.е. первую производную вектора скорости по времени.

Рассмотрим проекции на координатные оси. С учетом того, что можно записать .

Получаем, что проекция ускорения на ось Х равна второй производной координаты Х по времени. Аналогичные уравнения получаются для проекций ускорения на оси У и Z. Т.о. .

Сделаем рисунок. Пусть материальная точка движется по криволинейной траектории. В точке А скорость материальной точки , в точке В - , . Разложим вектор на две составляющие.

Для этого из т.А по направлению отложим вектор по модулю равный / /. Очевидно, что вектор = , определяет изменение скорости за время Δt по модулю . Вторая составляющая вектора - ( ) характеризует изменение скорости за Δt по направлению.

Отсюда вектор полного ускорения тоже можно представить в виде суммы составляющих, одна из которых направлена по касательной к траектории и обозначается , называется тангенциальным ускорением.

По модулю , т.е. тангенциальное ускорения есть первая производная по времени от модуля скорости, оно определяет быстроту изменения скорости по модулю.

Найдем вторую составляющую ускорения. Будем считать, что т. В достаточно близка к т. А, тогда путь можно считать дугой окружности некоторого радиуса R, т.е. ≈/AB/, мало отличающейся от хорды.

Из подобия треугольников АОВ и EAD следует, что

, но так как и ,

то или .

При Δt→0 и .

Если Δt→0, угол EAD→0, т.к. ΔEAD равнобедренный, то угол ADE→ 90º, т.е. при Δt→0 перпендикулярен . Так как направлен по касательной к траектории, то _┴ и направлен к центру ее кривизны.

Вторая составляющая ускорения, равная , называется нормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории, к центру ее кривизны, поэтому ее часто называют центростремительным ускорением. Она определяет быстроту изменения скорости по направлению.

Полное ускорение (Δt→0).

В зависимости от значений и движение можно классифицировать следующим образом:

1) =0, =0 - прямолинейное равномерное движение;

2) =const, =0 – прямолинейное равнопеременное

= . Если , и , то и .

Отсюда длина пути .

3) =0, =const – равномерное движение по окружности;

4) = f (t), =0 – прямолинейное движение с переменным ускорением;

5) =0, ≠ 0 – равномерное криволинейное;

6) =const, ≠ 0 – криволинейное равнопеременное;

7) = f (t), ≠ 0 – криволинейное движение с переменным ускорением.

Дата добавления: 2014-11-08; просмотров: 481; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!