![]() Главная страница Случайная лекция ![]() Мы поможем в написании ваших работ! Порталы: БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика ![]() Мы поможем в написании ваших работ! |
Теорема Коши. Пусть функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b], и имеет конечную или бесконечную производную внутри этого сегментаТеорема Лагранжа Теорема Ролля Пусть функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b], и имеет конечную или бесконечную производную внутри этого сегмента. Пусть, кроме того, f(a) = f(b). Тогда внутри сегмента [a, b] найдется точка ξ такая, что f'(ξ) = 0. Если функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b] и имеет конечную или бесконечную производную во внутренних точках этого сегмента, то Если каждая из функций f и g непрерывна на [a, b] и имеет конечную или бесконечную производную на ]a, b[ и если, кроме того, производная g'(x) ≠ 0 на ]a, b[, то Если дополнительно потребовать, чтобы g(a) ≠ g(b), то условие g'(x) ≠ 0 можно заменить менее жестким: 9. Правило Лопиталя.Это правило нахождения некоторых пределов функций при помощи производных. Правило Лопиталя задается следующей теоремой. Теорема 2. Пусть 1) функции f (x) и g(x) дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности* точки а, 2)
Замечание 4. Теорема верна и для случая а = ¥ (+¥, – ¥). Замечание 5. Теорема верна и для случая Замечание 6. Из условий теоремы следует, что функция Замечание 7. Часто правило Лопиталя применяется повторно следующим образом. Пусть при выполнении условий 1) – 3) теоремы Примеры.9) Найти предел Решение. Функции f (x) = ex – e-x и g(x) = ln(1+x) удовлетворяют условиям 1) – 3) теоремы 2, причем имеет место неопределенность вида 10) Найти предел Решение. Имеет место неопределенность вида Вновь имеет место неопределенность вида 11) Найти предел Решение. Имеет место неопределенность вида Здесь правило Лопиталя применено два раза. Замечание 8. Результат будет таким же и при любом положительном коэффициенте у показателя экспоненты и любом положительном показателе степени х. Этот факт неформально означает, что “экспоненциальная функция растет быстрее, чем степенная при х ® + ¥”. 12) Найти предел Решение. Имеет место неопределенность вида Здесь правило Лопиталя применено два раза. Замечание 9. Результат будет таким же и при любых положительных показателях степеней х и lnx. Этот факт неформально означает, что “степенная функция растет быстрее, чем логарифмическая при х ®+¥”.
Дата добавления: 2014-02-28; просмотров: 519; Нарушение авторских прав ![]() Мы поможем в написании ваших работ! |