Степенные ряды

Лекция 13

План лекции:

1. Область сходимости степенного ряда

2. Теорема Абеля.

3. Ряды Тейлора и Маклорена

Ряды, членами которых являются степенные функции, называются степенными рядами. Они имеют вид:

c₀ + c₁x + c₂x² + …..+ c_nxⁿ + ….= c_nxⁿ (1)

Область сходимости степенного ряда.

Совокупность тех знаний х, при которых степенной ряд⁽¹⁾ сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Пример. Найти область сходимости ряда.

1 + х + х² +…..+хⁿ +…..

Решение. Данный ряд можно рассматривать как геометрический ряд со знаменателем q = x, который сходится при . Поэтому областью сходимости является интервал (-1; 1).

Структура области сходимости устанавливается с помощью теоремы Абеля.

Теорема Абеля. 1.) Если степенной ряд сходится при х₀ , то он абсолютно сходится и при всех .

2.) Если степенный ряд расходится при х = х₁, то он расходится и при всех .

Из теоремы Абеля следует, что :- ряд сходится, - ряд расходится.

Число R называется радиусом сходимости, а интервал (-R, R) – интервалом сходимости.

На концах интервала сходимости при х = -R и х = R ряд может как сходиться, так и расходиться.

Найдем выражение для радиуса сходимости ряда (1) через его коэффициенты. Рассмотрим из абсолютных величин членов ряда (1), в котором все коэффициенты с_n, начиная с некоторого номера n, отличны от нуля. По признаку Даламбера этот ряд сходится, если

Если этот предел существует, то он и является радиусом сходимости ряда (1):

Пример. Найти радиус сходимости степенного ряда:

Решение. Найдем радиус сходимости ряда по формуле :

Интервал сходимости ряда - .

Теперь выясним поведение ряда при . При ряд принимает вид

он сходится по признаку Лейбница. При получаем ряд . Это обобщенный гармонический ряд при , которого все члены с четными номерами равны нулю. , поэтому ряд сходится. Таким образом, область сходимости имеет вид:

Дата добавления: 2014-02-28; просмотров: 901; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!