Студопедия

Главная страница Случайная лекция


Мы поможем в написании ваших работ!

Порталы:

БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика



Мы поможем в написании ваших работ!




Степенные ряды

Читайте также:
  1. В теории и практике планирования могут также выделяться другие виды планирования, охватывающие как главные, так и второстепенные аспекты этого процесса.
  2. Вопрос № 3. Календарные праздники и обряды.
  3. Второстепенные члены предложения.
  4. Лекция 1. Электрическое поле. Электрические заряды. Закон Кулона.
  5. Поляризация диэлектриков. Свободные и связанные заряды. Основные виды поляризации диэлектриков.
  6. Проводниками называются вещества, по которым могут свободно перемещаться электрические заряды.
  7. Простое предложение. Главные и второстепенные члены.
  8. Ряды.Интегральное исчисление функций многих переменных и элементы векторного анализа
  9. Средняя квадратическая и другие степенные средние

Лекция 13

План лекции:

1. Область сходимости степенного ряда

2. Теорема Абеля.

3. Ряды Тейлора и Маклорена

Ряды, членами которых являются степенные функции, называются степенными рядами. Они имеют вид:

c0 + c1x + c2x2 + …..+ cnxn + ….= cnxn (1)

 

Область сходимости степенного ряда.

 

Совокупность тех знаний х, при которых степенной ряд(1) сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Пример. Найти область сходимости ряда.

1 + х + х2 +…..+хn +…..

Решение. Данный ряд можно рассматривать как геометрический ряд со знаменателем q = x, который сходится при . Поэтому областью сходимости является интервал (-1; 1).

Структура области сходимости устанавливается с помощью теоремы Абеля.

Теорема Абеля. 1.) Если степенной ряд сходится при х0 , то он абсолютно сходится и при всех .

2.) Если степенный ряд расходится при х = х1, то он расходится и при всех .

Из теоремы Абеля следует, что :- ряд сходится, - ряд расходится.

Число R называется радиусом сходимости, а интервал (-R, R) – интервалом сходимости.

На концах интервала сходимости при х = -R и х = R ряд может как сходиться, так и расходиться.

Найдем выражение для радиуса сходимости ряда (1) через его коэффициенты. Рассмотрим из абсолютных величин членов ряда (1), в котором все коэффициенты сn, начиная с некоторого номера n, отличны от нуля. По признаку Даламбера этот ряд сходится, если

Если этот предел существует, то он и является радиусом сходимости ряда (1):

Пример. Найти радиус сходимости степенного ряда:

Решение. Найдем радиус сходимости ряда по формуле :

Интервал сходимости ряда - .

Теперь выясним поведение ряда при . При ряд принимает вид

он сходится по признаку Лейбница. При получаем ряд . Это обобщенный гармонический ряд при , которого все члены с четными номерами равны нулю. , поэтому ряд сходится. Таким образом, область сходимости имеет вид:


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Ряды с произвольными членами | Свойства степенных рядов

Дата добавления: 2014-02-28; просмотров: 901; Нарушение авторских прав




Мы поможем в написании ваших работ!
lektsiopedia.org - Лекциопедия - 2013 год. | Страница сгенерирована за: 0.003 сек.