Лекция 7 Обучение решению математических задач

7.1 Задачи: определение, структура, классификации

7.2 Функции задач в обучении. Принципы отбора задач

7.3 Процесс решения задачи

7.4 Организация решения задач

7.1 Задачи: определение, структура, классификации

Д. Пойа, рассматривая роль задач в математике, утверждал, что владение математикой – это есть умение решать задачи, причем не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности.

Термин «задача» употребляется достаточно широко. Задачу понимают и как проблему, которую требуется решить, и как проблемную ситуацию. «Задачи, которые ставит перед собой человек, и задачи, которые перед ним ставят люди, обстоятельства жизни, направляют всю его деятельность, его жизнь» С задачами человек сталкивается постоянно, как в жизни, так и при изучении разных предметов.

Математические задачи являются одной из главных составляющих содержания учебного предмета математики, который включает также и теоретический материал (понятия, их определения; алгоритмы, математические утверждения: аксиомы, теоремы, формулы и т.д.). Но и теоретический материал учащиеся усваивают в процессе решения задач. Поэтому решение задач является основной деятельностью при обучении математике. Особое место задач в обучении требует специального внимания к определению этого понятия.

Существуют разные подходы к определению задачи. Наиболее общим является определение задачи как цели заданной в определенных условиях (А.Н. Леонтьев). Л.Л. Гурова обращает главное внимание на объект мыслительных усилий человека, решающего задачу: «Задача – объект мыслительной деятельности, содержащий требование некоторого практического преобразования или ответа на теоретический вопрос посредством поиска условий, позволяющих раскрыть связи (отношения) между известными и неизвестными ее элементами. ( ) Большое распространение получило понимание задачи как определенной системы (Г.А. Балл, Ю.М. Колягин, Л.М. Фридман и др.). Г.А. Балл предлагает следующее определение: «Задача в общем виде – это система, обязательными компонентами которой являются: а) предмет задачи, находящийся в исходном состоянии; б) модель требуемого состояния предмета задачи (эту модель мы отождествляем с требованием задачи)» ( ) Л.М. Фридман тесно связывает понятие задачи с понятием проблемной ситуации, и считает, что «генезис задачи можно рассматривать как моделирование проблемной ситуации, в какую попадает субъект в процессе своей деятельности, а саму задачу – как модель проблемной ситуации, выраженной с помощью знаков некоторого естественного или искусственного языка.»

При всем разнообразии подходов к определению задачи, можно отметить те компоненты, которые выделяются в структуре задачи как объекте мыслительной деятельности:

-условие (У) – предметная область задачи (объекты) и отношения между объектами;

-обоснование (базис) (О) – теоретические или практические основы перехода от условия к заключению посредством операций, которые составляют решение задачи;

-решение (оператор) (Р) – та совокупность действий, операций, которую надо произвести над известными компонентами, чтобы выполнить требование, выраженное в заключении;

-заключение (З) – требование отыскать неизвестные компоненты, проверить правильность, сконструировать, построить, доказать и т.п.

Символически структуру задачи можно записать: УОРЗ. В сложившейся практике обучения термин «решение задачи» применяется в трех различных случаях:

- решение задачи как план (способ, метод) осуществления условия задачи;

- решение задачи как процесс выполнения плана, выполнение требования;

- решение задачи как результат выполнения плана решения.

В общем случае: решить математическую задачу – это значит найти такую последовательность общих положений математики (определений, аксиом, формул, теорем, правил), применяя которые к условиям задачи или к их следствиям (промежуточным результатам решения), получаем то, что требуется в задаче – ответ.

Задачи можно классифицировать по величине проблемности (в зависимости от того, какие компоненты структуры (УОРЗ) неизвестны решаемому).

Стандартные задачи – известны все компоненты УОРЗ. Такие задачи часто используются на разных этапах усвоения теоретического материала. Это задачи на «прямое» применение изученных формул или правил, или задачи на «распознавание» введенных понятий. Например, из приведенных уравнений х + у=3, (х-2)(х-4)=5, 2х-8=6, 2:х=4 выберите те, которые являются линейными уравнениями с одной переменной.

Обучающие задачи – неизвестен один из компонентов: УОРх, УОхЗ, УхРЗ, хОРЗ.

Приведем примеры. 1. Дано квадратное уравнение 3х +2х-7=0.Найдите его корни по формуле корней квадратного уравнения. (УОРх) 2. Ученик нашел корни квадратного уравнения по теореме, обратной теореме Виета. Как он это сделал? (УОхЗ) 3.Ученик, разложив левую часть квадратного уравнения на множители, нашел его корни. Какой математический факт положен в основу такого решения? (УхРЗ) 4.Придумай квадратное уравнение, корнями которого являются числа 2 и -2, полученные с помощью формулы разности квадратов. (хОРЗ)

Поисковые задачи – неизвестны два компонента: УхуЗ, УОху, хОуЗ, хОРу.

Пример. В кружке, где Аня изучает математику, занимается более 94% мальчиков. Какое наименьшее число школьников может быть в этом кружке? (УОху)

Проблемные задачи – неизвестны три компонента.

Пример. В точках А и В посреди океана находятся два корабля. Расстояние АВ=50км. Корабли одновременно начинают двигаться прямолинейно в произвольных направлениях с постоянными скоростями соответственно 15км/ч и20км./ч., пока не встречаются в точке С. Каково наибольшее возможное время их движения до встречи?

Структура задачи определяет и уровень проблемности в деятельности, которая направлена на решение задачи: репродуктивная или алгоритмическая (воспроизведение изученного способа), продуктивная (использование известного способа в новых ситуациях, привлечение знаний из других тем курса), творческая (использование эвристик).

Кроме деления по структуре и уровню проблемности, существуют и другие типологии задач. Задачи классифицируют:

-по математическому содержанию (У и З принадлежат определенному разделу математики): арифметические, алгебраические, геометрические, тригонометрические, комбинаторные и т.д.;

-по методу решения (представлены О и Р): практические, арифметические (на основе зависимостей между компонентами арифметических действий), алгебраические, графические (построение и чтение графиков функций), геометрические (через использование геометрических фигур и их свойств), комбинированные;

-по характеру требований: задачи на вычисление, доказательство, объяснение, преобразование, конструирование, построение и т.д.

-по специфике языка: текстовые (условие представлено на естественном языке), сюжетные (присутствует фабула), абстрактные (использован символьный язык).

Всякая типология задач является условной и зависит от многих обстоятельств. Так, например, одну и ту же задачу, бывает, можно решить и арифметическим, и алгебраическим, и геометрическим методами. А отнесение задачи к тому или иному виду по степени поблемности во многом зависит от того, кто решает задачу. Несмотря на это, различные типологии позволяют педагогу более осознанно подходить к отбору задач в зависимости от целей обучения.

Важную роль в курсе математики играют сюжетные задачи. Фактически при их решении впервые реализуется одна из важных задач курса математики – обучение методу моделирования (моделирование в школьном курсе кратко можно охарактеризовать как описание реальных процессов на языке математики). Под сюжетными следует понимать задачи, в которых описан некоторый жизненный сюжет (явление, событие, процесс) с целью нахождения определенных количественных характеристик или значений.

К сюжетным задачам применимы типологии, указанные выше. Кроме того, выделяют типологию по сюжету (на движение, на совместную работу, на смеси и сплавы и т.д.). Среди сюжетных задач (необязательно математических) высокий уровень проблемности имеют задачи образного характера, которые можно отнести к поисковым. Их решение требует целостного восприятия ситуации, описываемой в задаче, и опирается на образ. Поэтому в них очень трудно выделить данные и обобщенный способ решения, что связано с субъективностью образа.

В школьном курсе математики порядок изучения задач устанавливается с учетом логики формирования математических понятий и сложности самих задач.

Сложность – объективная характеристика задачи, которая зависит от количества связей, характера связей, формулировки задачи (формулировка на естественном или искусственном языке, использование понятий и терминов из разных предметных областей), конструкции текста (логическая или грамматическая структура текста, например, задачи, имеющие структуру УЗ, воспринимаются легче, чем текст, в котором заключение предваряет условие (ЗУ), либо условие или заключение разнесены в тексте (УЗУ, ЗУЗ).

Решение задачи всегда предполагает встречу объекта (задачи) и субъекта (решателя), поэтому процесс решения задачи включает и субъективный компонент, что выражается таким критерием, как трудность задачи.

Трудность – субъективная характеристика задачи, зависит от субъектного опыта ребенка, который включает: знания предметных областей; учебные умения; интеллектуальные умения, связанные с качествами мышления, типологическими свойствами; жизненные представления, которые отражают то привычное, с чем сталкивается ребенок в жизни.

Дата добавления: 2014-03-01; просмотров: 1250; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!