Наличие контрпримера (контрзадач)

Под контрпримером понимают любую задачу, которая провоцирует учащихся на ошибку, помогая выявить и устранить имеющиеся у них ошибочные ассоциации. Контрпримеры приводятся в том случае, когда ученик допускает ошибки в определении понятия или для предупреждения таких ошибок. Например, ученик формулирует определение простого числа как числа, имеющего два делителя. Приводим пример: число 6 имеет два делителя: 2 и 3. Является ли число 6 простым? Контрпример помогает ученику понять свою ошибку и самостоятельно исправиться. Для предупреждения ошибок контрзадачи включаются в систему однотипных задач. Например, в задания на применение теоремы о квадратном корне из произведения обязательно включаются задания на вычисление квадратного корня из суммы или разности выражений. Или, выполняя задания на вычисление логарифмов от произведения или частного, ученики должны увидеть задания на вычисление произведений логарифмов или частного логарифмов.

Задачи с познавательными функциями позволяют, благодаря своему содержанию, устанавливать разнообразные связи между изучаемыми и изученными ранее понятиями внутри предмета с понятиями других предметов; методами решения задач; приемами мыслительной деятельности, применяемыми при решении задач. Они ставят ученика перед необходимостью поиска решения задач, а это значит, решая задачи с познавательными функциями, учащийся может осмыслить общий процесс решения задачи. Наконец, с помощью таких задач можно применять теоретические знания и методы в новых для обучаемых ситуациях. Например, при решении задачи: «Угол между диагоналями прямоугольника равен 42 градуса. Найти углы, которые диагонали образуют со сторонами прямоугольника», - ученики устанавливают взаимосвязь свойств прямоугольника с теоремами о свойствах углов (сумма углов треугольника, внешний угол треугольника, свойства углов при основании равнобедренного треугольника и др.). При этом, задача может быть решена несколькими способами, в зависимости от выбранной исходной теоремы.

Задачи с развивающими функциями предназначены для формирования определенных качеств мышления (гибкость, глубина, критичность и др.), а также творческих способностей обучаемых. Среди таких задач, как правило, выделяются два типа задач. Первый тип – это задачи для решения которых не требуются новые знания по предмету, а надо применять имеющиеся знания в иной комбинации. От задач с познавательными функциями они отличаются тем, что , во-первых, не находятся в тесной связи с изучаемой теорией и поэтому не требуют применения известного общего способа решения, и, во-вторых, содержание их таково, что невозможно применить один какой-то известный алгоритм и тем самым найти решение. Пример. Разрезать произвольный треугольник на четыре равнобедренных треугольника. Для решения данной задачи достаточно знать свойство медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе. Однако, необычная постановка задачи ставит ученика перед необходимостью поиска способа решения.

Второй тип – это задачи, с помощью и на основе которых приобретаются дополнительные знания по предмету. К первым относятся, так называемые, задачи «на сообразительность» и некоторые виды задач повышенной сложности с оригинальной фабулой; ко вторым – задачи повышенной сложности.

Широкое распространение получило также деление задач по их роли в учебном процессе на задачи как средство и как цель обучения.

Задачи как средство обучения выполняют следующие функции:

- обучение математической деятельности;

- формирование знаний, умений и навыков;

- развитие учащихся (качеств мышления);

- воспитание (через содержание, организацию деятельности, общение);

- обучение моделированию явлений действительности.

Если задача рассматривается как цель обучения, то предполагается, что обучаемые в результате ее решения усваивает понятие задачи, ее структуру и компоненты; процесс решения; приемы работы с текстом задачи; способы решения отдельных видов задач, общие методы поиска решения.

Одна и та же задача в зависимости от ее роли в процессе обучения может выполнять различные функции. Кроме того, определяющим является место данной задачи среди набора или системы задач.

7.3. Процесс решения задачи

В процессе решения любой задачи выделяют четыре основных этапа работы.

1. Анализ текста задачи (изучение условия задачи). Цель этапа – выделить объектное содержание задачи, условие, заключение; создать краткую запись, чертеж или схему, если это требуется решаемому. Одна из трудностей анализа текста задачи состоит в том, что текст неодинаково воспринимается и понимается разными людьми. Необходимо учитывать, что существует несколько задач, созданных на основе этого текста: задача, которую имел в виду автор; задача, которую «перевел» для себя ученик; задача, которую воспринял для себя учитель. И совсем необязательно, что они совпадают. Многообразие субъективных задач определяется многозначностью слов и словосочетаний естественного языка, субъективным опытом ребенка, учителя. Фактически, процесс решения задачи должен начинаться с создания одной и той же задачи, корректировки субъектного опыта, привлекаемого к решению, обучения языку математики. Чем меньше ребенок, тем выше субъективность его индивидуального опыта в области математики, а значит тем более значима для него работа с текстом.

2. Поиск решения задачи (составление плана решения). Цель этапа – создание плана решения задачи, который может быть представлен в виде устного или письменного текста, а также в виде модели или поисковой схемы. Начинается составление плана решения, как правило, с расшифровки заключения задачи (главного вопроса задачи). Примерные вопросы: «Что значит доказать, что …?» «Как можно установить, что …?», «Какие величины надо знать, чтобы ответить на вопрос задачи? Какие из них известны, какие неизвестны?», «Какие величины в задаче можно выразить различными способами?» и т.д. При решении геометрических задач выясняется необходимость дополнительных построений. Бывает полезной и расшифровка условий задачи (что следует из того, что задана, например, медиана треугольника).

3. Реализация плана решения с обоснованием. После составления плана решения оговаривается способ оформления решения: по действиям с необходимыми пояснениями; по заранее оговоренной схеме; по «шагам» с обоснованием каждого шага; в виде рисунка, таблицы и т.д. Выбирается наиболее оптимальный вариант.

4. Анализ решения. Начинается с проверки найденного ответа. Проверку можно проводить по смыслу: существуют ли объекты с описанными и полученными свойствами; насколько достоверно полученное число; проверяется правильность выполнения логических и математических операций. Проверку решения текстовой задачи можно осуществить путем составления и решения обратной задачи. На этом же этапе обращается внимание на метод решения, на приемы рассуждения, которые применялись на этапе поиска решения и на этапе оформления решения. Выявляется полезная информация, которую следует запомнить и использовать при решении других задач.

Рассмотрим примеры. Задача 1. Первый сплав содержит 5% меди, второй –12% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 16 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава.

1. Изучение условия. Обучаемые отвечают на вопросы учителя, ответы фиксируются в табличной форме (учитель записывает на доске). Вопросы: 1. О каких объектах говорится в условии задачи? Сколько таких объектов? 2.Какие характеристики этих объектов заданы? 3. Какие характеристики обозначены конкретными числами? 4. Между какими характеристиками указаны соотношения?

2. Составление плана решения. Вопросы: 1. Какие изменения происходят со сплавами? 2. Какая величина при этом остается неизменной? 3. Какую величину целесообразно принять за неизвестное (х)? 4. Как найти количество меди, содержащейся в каждом сплаве? 5. Какими способами можно определить количество меди, содержащейся в третьем сплаве? 6. Как можно составить уравнение?

3. Оформление решения. Пусть х – масса первого сплава, тогда х+6 –масса второго сплава; 2х+6 – масса третьего сплава. 0,05х – количество меди в первом сплаве: 0,12(х+6) – количество меди во втором сплаве; 0,1(2х+6) – количество меди в третьем сплаве. Так как количество меди в третьем сплаве равно сумме количеств меди в первом и втором сплавах, то можно составить уравнение:

0,1(2х+6) = 0,05х+0,12(х+6);

0,2х+0,6 = 0,05х+0,12х+0,72;

0,03х = 0,12;

Х = 4; 4кг – масса первого сплава; 2х4+6 = 14(кг) – масса третьего сплава.

4. Анализ решения. Вопросы для обсуждения: 1.Ответили ли мы на вопрос задачи? 2. Правдоподобный ли получили ответ? 3. Как можно проверить правильность вычислений? 4. Как можно проверить правильность составления уравнения? 5. Каким методом решена задача? 6. Как можно назвать данный вид задач?

Запомните для себя полезную информацию: в задачах на смеси и сплавы выявляется величина, которая не изменяется в процессе переливов, переплавов (или ее количество легко найти из заданных условий), эту величину определяют (выражают) через введенную переменную различными способами. На основании этого составляют уравнение или систему уравнений, если число неизвестных больше одного.

Задача 2. Докажите, что точки пересечения биссектрис параллелограмма, не являющегося ромбом, являются вершинами прямоугольника.

Изучение условия задачи. 1. Какая фигура задана в условии задачи? 2. Какие уточняющие данные об этой фигуре известны? 3. Какие элементы построены в заданной фигуре? 4. Определены ли числовые значения для фигуры или ее элементов? 5. Что требуется доказать?

Построим чертеж и запишем условие и заключение в символьной форме.

Составление плана решения. 1.Что значит доказать, что MNPK – прямоугольник? 2. Как можно доказать, что MNPK – параллелограмм? 3. Как можно доказать параллельность двух прямых? 4. Какой из признаков параллельности следует из условия задачи? 5. (Дополнительный) Под каким углом пересекаются биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне?

Запись доказательства с использованием символики.

Изучение решения. 1. Какие свойства и признаки мы использовали при доказательстве? 2. Зависит ли доказательство от расположения точек пересечения биссектрис? (Внутри параллелограмма, на сторонах или вне параллелограмма). 3.Почему в условии задачи сделана оговорка о том, что параллелограмм не является ромбом? 4. Какой факт (какие факты) полезно запомнить после решения этой задачи?

Процесс решения стандартной задачи имеет следующие особенности.

1. Анализ условия задачи сводится к установлению (распознаванию) вида задачи, к которому принадлежит данная задача.

2. Поиск решения состоит в составлении на основе общего положения (правила, теоремы и т.д.) программы – последовательности шагов – решения задач данного вида.

3. Само решение стандартной задачи состоит в применении этой общей схемы к условиям этой задачи.

Пример. Разложить многочлен 4х-9х+5 на множители.

1 этап. Т.к. данный многочлен является квадратным трехчленом, то его можно разложить на множители по теореме: ах+вх+с=а(х-х)(х-х), где х и х – корни данного трехчлена.

2этап. План решения: 1) найти х и х, решив уравнение ах+вх+с=0; 2) образовать двучлены (х-х)(х-х); 3) записать разложение в виде: а(х-х)(х-х).

3этап. Оформление решения.

4этап. Изучение решения. 1. Как можно проверить, что разложение выполнено верно? 2. Как более рационально можно было найти корни заданного трехчлена? 3. Можно ли было решить задачу, не используя теорему о разложении квадратного трехчлена на линейные множители?

Описанное подробное решение задачи проводится тогда, когда рассматриваются задачи нового вида, осваивается новый метод решения задачи. Когда метод (прием) решения освоен, первый, второй и четвертый этапы реализуются в более свернутом виде.

7.4. Организация решения задач

Дата добавления: 2014-03-01; просмотров: 448; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!