Главная страница Случайная лекция
Мы поможем в написании ваших работ!
Порталы:
БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика
Мы поможем в написании ваших работ!
Линейные разностные уравнения первого порядка
Пусть 
– размер популяции в конце n – го периода времени. Предположим, что скорость роста популяции в любой период времени пропорциональна размеру популяции в начале этого периода. Если постоянную пропорциональности обозначить через а, то, учитывая, что прирост популяции выражается величиной 
, получим: 
. Сгруппировав члены, приходим к разностному уравнению первого порядка
. (1.1)
Пусть известен начальный размер популяции 
. Тогда из уравнения (1.1) последовательно находим:
Таким образом, общее решение или общая формула для 
имеет вид:
. (1.2)
Если постоянная пропорциональности 
, то выполняется условие 
и, следовательно, 
безгранично возрастает с ростом n. Отсюда следует, что 
при 
. Если 
, то популяция остается на постоянном уровне , 
. Это случай нулевого роста. Если 
, то 
и 
при . Заметим, что при 
популяция вымирает после первого же периода времени. Значения 
нас не интересуют, так как они приводят к отрицательным численностям.
Пример 1.4. Популяция бактерий первоначально насчитывала 1000 особей и постоянно увеличивалась с темпом роста 50 % в каждый час. Какова численность популяции после 10 часов роста?
Решение. Пусть – численность популяции бактерий после n часов роста. По условию задачи, 
и 
. Общее решение разностного уравнения есть 
. По прошествии 10 часов размер популяции составит 
.
Рассмотренное выше уравнение представляет собой пример линейного разностного уравнения первого порядка.
Определение 1.2. Линейным разностным уравнением первого порядка называется уравнение
, (1.3)
где 
и 
– заданные функции от n.
Если известно , то по уравнению можно определить 
.
Если 
, то уравнение (1.3) называется однородным, и неоднородным – в противном случае 
.
Рассмотрим однородное уравнение
(1.4)
Считая в (1.4) 
последовательно находим:
(1.5)
Формула (1.5) есть общее решение уравнения (1.4).
Пример 1.5. Рассмотрим популяцию бактерий, растущую от начального размера в 1000 особей таким образом, что ее размер по прошествии n+1 часов больше размера после n часов в 
раза. Какова численность популяции после 10 часов роста?
Решение. Пусть – размер популяции после n часов роста. Известно, что и что 
. Это разностное уравнение первого порядка при 
. Используя (1.5), имеем:
Размер популяции после 10 часов равен 
.
Рассмотрим теперь неоднородное уравнение (1.3). Считая 
из уравнения (1.3) последовательно находим:
(1.6)
Формула (1.6) дает общее решение неоднородного уравнения (1.3).
Пример 1.6. Популяция бактерий растет от начального размера в 1000 особей таким образом, что ее прирост в интервале от n до n+1 часов с начала роста составляет 
. Каков размер популяции после 10 часов роста?
Решение. По условию, 
и , где – размер популяции после n часов роста. Учитывая, что 
, 
, находим:
Общий вид решения таков:
.
Выражение в скобках представляет собой сумму членов геометрической прогрессии с параметрами 
. Используя формулу 
, получим:
.
Итак, 
.
После 10 часов роста размер популяции составит
.
С течением времени размер популяции бактерий приближается к предельному, или равновесному, размеру, равному 2000.
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Лекция 2. Разностные уравнения | | | Линейные разностные уравнения второго порядка |
Дата добавления: 2014-03-11; просмотров: 590; Нарушение авторских прав
Мы поможем в написании ваших работ!