Студопедия

Главная страница Случайная лекция

Порталы:

БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика






Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Читайте также:
  1. Алгоритм расчета коэффициента теплоотдачипо критериальным уравнениям
  2. Влияние температуры на химическое равновесие. Уравнения изобары и изохоры химической реакции
  3. Выбор порядка тригонометрического полинома
  4. Государственная программа «Обеспечение общественного порядка и противодействие преступности»
  5. Д. М. Пожарский – руководитель второго земского ополчения.
  6. Дифференциальные зубчатые механизмы
  7. Дифференциальные уравнения
  8. Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена
  9. Дифференциальные уравнения первого порядка
  10. Для произвольной плоской системы сил можно составить три уравнения равновесия.

Рис. 2.1

Исследуем теперь неоднородное уравнение(3.1). Будем искать решение (3.1) в виде:

, (3.4)

где ,неизвестные дифференцируемые функции.

Учитывая, что из уравнения (3.1) получим:

.

Или

. (3.5)

Будем считать, что , то есть .

С учетом этого, уравнение (3.5) примет вид:

. Или .

Интегрируя это уравнение, получим:

,

где с - произвольная постоянная.

Таким образом, общее решение уравнения (3.1) имеет вид:

. (3.6)

Определение 3. Функция называется интегрирующим множителем для уравнения (3.1)

Пример 6. Внутривенное питание глюкозой.

Рассмотрим лечебную процедуру состоящую в вливании глюкозы в кровеносную систему. Пусть - количество глюкозы в крови пациента в момент времени . Допустим, что глюкоза вводится в кровь с постоянной скоростью с (г/мин.). В то же время глюкоза разлагается и удаляется из кровеносной системы со скоростью, пропорциональной имеющемуся количеству глюкозы. Таким образом, функция удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка

, (3.7)

где - положительная постоянная. Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида (3.1) при и .

Чтобы решить это уравнение, запишем его в виде: .

Умножив последнее уравнение на интегрирующий множитель , и учитывая, что

получим:

.

Интегрируя, получаем:

,

где - постоянная интегрирования.

Таким образом, общее решение (3.7) имеет вид:

. (3.8)

Если известна начальная концентрация глюкозы в крови , то из (3.8)имеем:

.

Значит, общее решение может быть записано в виде:

. (3.9)

Из (3.9) следует, что с увеличением времени содержание глюкозы в крови приближается к числу , которое есть равновесное количество глюкозы в крови.

Пример 7. В популяцию людей большой численности занесено инфекционное заболевание. Доля людей, перенесших заболевание, возрастает со временем. Пусть обозначает долю людей, переболевших этой болезнью за лет после ее возникновения в популяции, и пусть

.

Найдите , если . За сколько лет доля переболевших достигнет ?

Решение:Запишем уравнение в виде:

.

Умножив на и учитывая, что

получим:

.

Интегрируя, находим:

. или .

Учитывая, что имеем: .

Таким образом .

Пусть - время, при котором доля переболевших людей достигнет , т.е.

.

Отсюда находим:

; ; ; .

Таким образом, доля переболевших людей достигнет через 7 лет.

2.2. Нелинейные дифференциальные уравнения первого порядка:

метод разделения переменных

Общий вид нелинейного уравнения следующий:

, (3.10)

где - заданная непрерывная функция.

Биологическая интерпретация уравнения (3.10) заключается в том, что скорость роста популяции является функцией времени и размера популяции. В общем случае не удается отыскать формулу, дающую в явном виде решение уравнения(3.10). Однако имеются некоторые специальные типы нелинейных уравнений первого порядка, решение которых можно найти в явном виде. Одним из таких уравнений является уравнение с разделяющимися переменными.

Будем говорить, что переменные и в уравнении (3.10) разделяются, если:

,

где - представляет собой функцию только от , а - функцию только от . В этом случае уравнение (3.10) записывается в виде:

. или . (3.11)

В такой форме левая часть интегрируется по переменной , а правая часть интегрируется по переменной . Выполняя эти два интегрирования, приходим к общему решению



. (3.12)

Если и достаточно простые, то можно найти эти интегралы и получить общее решение в явном виде.

Пример 8. Логистический закон развития.

Скорость роста популяции в расчете на одну особь представляет собой разность между средней рождаемостью и средней смертностью. Будем считать, что средняя рождаемость выражается положительной постоянной , не зависящей от времени и размера популяции . Допустим также, что средняя смертность пропорциональна размеру популяции и поэтому равна , где - положительная постоянная. Это увеличение смертности с ростом популяции может происходить за счет конкуренции за доступные пищевые ресурсы.

В данном случае, популяция подчиняется уравнению .

Или

. (3.13)

Разделяя переменные, получим:

.

Интегрируя, имеем:

.

Учитывая, что

имеем:

; ;

; ; .

Разрешая последнее уравнение относительно , находим:

;

. (3.14)

Если есть размер начальной популяции, то

; ; .

Подставив последнее в(3.14), получим:

. (3.15)

 

Процесс роста, описываемый функцией (2.15) называется логистическим ростом, а уравнение (2.13)- логистическим уравнением.

При логистическом росте популяции с увеличением времени популяция приближается к предельному (равновесному) размеру, равному . То есть размер равновесной популяции прямо пропорционален средней рождаемости и обратно пропорционально средней смертности на одну особь.

Определение 4. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида:

, (3.16)

где , , и - заданные функции, причем . Здесь, для удобства записи использованы обозначения , .

Если функции ,,постоянны, то уравнение (3.16) называют уравнением с постоянными коэффициентами.

Если при всех значениях , то уравнение называют однородным.

Рассмотрим однородное уравнение с постоянными коэффициентами:

, (3.17)

где ,,- постоянные, причем .

Решение уравнения (3.17) будем искать в виде:

,

где - некоторое число.

 

Учитывая, что , из (3.17) имеем:

.

Или

. (3.18)

Уравнение (3.18) называется характеристическим уравнением для уравнения(3.17). Корнями характеристического уравнения служат

, . (3.19)

 

Нужно рассмотреть три случая: величина больше нуля, равна нулю или меньше нуля.

Случай 1. Пусть , т.е. и действительны и различны. Тогда дифференциальное уравнение имеет два разных решения:и . Общее решение записывается в виде:

, (3.20)

где и - произвольные постоянные. Чтобы найти и нужно знать два условия, которым должно удовлетворять решение , например, и .

Случай 2. Пусть . В этом случае корни характеристического уравнения равны между собой: . Одним решением (3.17) является функция , а другим . Общее решение имеет вид:

. (3.21)

Случай 3. Пусть . В этом случае корни характеристического уравнения (3.18) представляют собой комплексно-сопряженные числа

и .

 

Общее решение уравнения (3.17 запишется в виде:

, (3.22)

 

где , .

 

Пример 9. В благоприятных условиях выращивают две популяции мух. Для популяции I удельная скорость роста составляет 0.1, если время выражается в днях. Для популяции II аналогичная скорость составляет 0.08. Определим как суммарную численность двух популяций в момент . Найти дифференциальное уравнение второго порядка, которому удовлетворяет .

Решение: По условию задачи - суммарная численность двух популяций мух. Учитывая, что - есть удельная скорость роста, то для имеем уравнение

.

Это есть дифференциальное уравнение второго порядка, которому удовлетворяет . Решая, находим:

.

.

; .

 

- общее решение уравнения.


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка | Упражнения

Дата добавления: 2014-03-11; просмотров: 762; Нарушение авторских прав


lektsiopedia.org - Лекциопедия - 2013 год. | Страница сгенерирована за: 0.007 сек.