Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Рис. 2.1

Исследуем теперь неоднородное уравнение(3.1). Будем искать решение (3.1) в виде:

, (3.4)

где ,неизвестные дифференцируемые функции.

Учитывая, что из уравнения (3.1) получим:

.

Или

. (3.5)

Будем считать, что , то есть .

С учетом этого, уравнение (3.5) примет вид:

. Или .

Интегрируя это уравнение, получим:

,

где с - произвольная постоянная.

Таким образом, общее решение уравнения (3.1) имеет вид:

. (3.6)

Определение 3. Функция называется интегрирующим множителем для уравнения (3.1)

Пример 6. Внутривенное питание глюкозой.

Рассмотрим лечебную процедуру состоящую в вливании глюкозы в кровеносную систему. Пусть - количество глюкозы в крови пациента в момент времени . Допустим, что глюкоза вводится в кровь с постоянной скоростью с (г/мин.). В то же время глюкоза разлагается и удаляется из кровеносной системы со скоростью, пропорциональной имеющемуся количеству глюкозы. Таким образом, функция удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка

, (3.7)

где - положительная постоянная. Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида (3.1) при и .

Чтобы решить это уравнение, запишем его в виде: .

Умножив последнее уравнение на интегрирующий множитель , и учитывая, что

получим:

.

Интегрируя, получаем:

,

где - постоянная интегрирования.

Таким образом, общее решение (3.7) имеет вид:

. (3.8)

Если известна начальная концентрация глюкозы в крови , то из (3.8)имеем:

.

Значит, общее решение может быть записано в виде:

. (3.9)

Из (3.9) следует, что с увеличением времени содержание глюкозы в крови приближается к числу , которое есть равновесное количество глюкозы в крови.

Пример 7. В популяцию людей большой численности занесено инфекционное заболевание. Доля людей, перенесших заболевание, возрастает со временем. Пусть обозначает долю людей, переболевших этой болезнью за лет после ее возникновения в популяции, и пусть

.

Найдите , если . За сколько лет доля переболевших достигнет ?

Решение:Запишем уравнение в виде:

.

Умножив на и учитывая, что

получим:

.

Интегрируя, находим:

. или .

Учитывая, что имеем: .

Таким образом .

Пусть - время, при котором доля переболевших людей достигнет , т.е.

.

Отсюда находим:

; ; ; .

Таким образом, доля переболевших людей достигнет через 7 лет.

2.2. Нелинейные дифференциальные уравнения первого порядка:

метод разделения переменных

Общий вид нелинейного уравнения следующий:

, (3.10)

где - заданная непрерывная функция.

Биологическая интерпретация уравнения (3.10) заключается в том, что скорость роста популяции является функцией времени и размера популяции. В общем случае не удается отыскать формулу, дающую в явном виде решение уравнения(3.10). Однако имеются некоторые специальные типы нелинейных уравнений первого порядка, решение которых можно найти в явном виде. Одним из таких уравнений является уравнение с разделяющимися переменными.

Будем говорить, что переменные и в уравнении (3.10) разделяются, если:

,

где - представляет собой функцию только от , а - функцию только от . В этом случае уравнение (3.10) записывается в виде:

. или . (3.11)

В такой форме левая часть интегрируется по переменной , а правая часть интегрируется по переменной . Выполняя эти два интегрирования, приходим к общему решению

. (3.12)

Если и достаточно простые, то можно найти эти интегралы и получить общее решение в явном виде.

Пример 8. Логистический закон развития.

Скорость роста популяции в расчете на одну особь представляет собой разность между средней рождаемостью и средней смертностью. Будем считать, что средняя рождаемость выражается положительной постоянной , не зависящей от времени и размера популяции . Допустим также, что средняя смертность пропорциональна размеру популяции и поэтому равна , где - положительная постоянная. Это увеличение смертности с ростом популяции может происходить за счет конкуренции за доступные пищевые ресурсы.

В данном случае, популяция подчиняется уравнению .

Или

. (3.13)

Разделяя переменные, получим:

.

Интегрируя, имеем:

.

Учитывая, что

имеем:

; ;

; ; .

Разрешая последнее уравнение относительно , находим:

;

. (3.14)

Если есть размер начальной популяции, то

; ; .

Подставив последнее в(3.14), получим:

. (3.15)

Процесс роста, описываемый функцией (2.15) называется логистическим ростом, а уравнение (2.13)- логистическим уравнением.

Определение 4. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида:

, (3.16)

где , , и - заданные функции, причем . Здесь, для удобства записи использованы обозначения , .

Если функции ,,постоянны, то уравнение (3.16) называют уравнением с постоянными коэффициентами.

Если при всех значениях , то уравнение называют однородным.

Рассмотрим однородное уравнение с постоянными коэффициентами:

, (3.17)

где ,,- постоянные, причем .

Решение уравнения (3.17) будем искать в виде:

,

где - некоторое число.

Учитывая, что , из (3.17) имеем:

.

Или

. (3.18)

Уравнение (3.18) называется характеристическим уравнением для уравнения(3.17). Корнями характеристического уравнения служат

, . (3.19)

Нужно рассмотреть три случая: величина больше нуля, равна нулю или меньше нуля.

Случай 1. Пусть , т.е. и действительны и различны. Тогда дифференциальное уравнение имеет два разных решения:и . Общее решение записывается в виде:

, (3.20)

где и - произвольные постоянные. Чтобы найти и нужно знать два условия, которым должно удовлетворять решение , например, и .

Случай 2. Пусть . В этом случае корни характеристического уравнения равны между собой: . Одним решением (3.17) является функция , а другим . Общее решение имеет вид:

. (3.21)

Случай 3. Пусть . В этом случае корни характеристического уравнения (3.18) представляют собой комплексно-сопряженные числа

и .

Общее решение уравнения (3.17 запишется в виде:

, (3.22)

где , .

Пример 9. В благоприятных условиях выращивают две популяции мух. Для популяции I удельная скорость роста составляет 0.1, если время выражается в днях. Для популяции II аналогичная скорость составляет 0.08. Определим как суммарную численность двух популяций в момент . Найти дифференциальное уравнение второго порядка, которому удовлетворяет .

Решение: По условию задачи - суммарная численность двух популяций мух. Учитывая, что - есть удельная скорость роста, то для имеем уравнение

.

Это есть дифференциальное уравнение второго порядка, которому удовлетворяет . Решая, находим:

.

.

; .

- общее решение уравнения.

Дата добавления: 2014-03-11; просмотров: 817; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!