Студопедия

Главная страница Случайная лекция

Порталы:

БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика






Дифференциальное уравнение теплопроводности (дифференциальное уравнение Фурье)

Читайте также:
  1. Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона
  2. Волновое уравнение
  3. Волновое уравнение
  4. Деньги, их свойства и функции. Уравнение обмена
  5. Дифференциальное и полное сечение рассеяния
  6. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
  7. Инфляция и устойчивость денежного обращения. Уравнение Фишера
  8. Лекция № 4 «Приближённое дифференциальное уравнение упругой линии балки. Способы определения перемещений».
  9. Общее уравнение водного баланса

Если поместить тело, например, бесконечную пластинку толщиной δ и начальной температурой T0 в горячую среду с температурой Tf (рис. 1.1), то пластинка, получая энергию от горячей среды, будет нагреваться, и ее температура изменяется с течением времени в каждой точке.

 

Рис. 2.1. Нагрев пластины в среде с температурой Tf

 

Температурное поле, т.е. распределение температур в пространстве и во времени, находят решением дифференциального уравнения (ДУ) теплопроводности, которое в 1814 году вывел французский ученый Фурье и поэтому это уравнение носит его имя. Вывод ДУ теплопроводности основан на законе сохранения энергии и использует закон Фурье. Уравнение Фурье моделирует процессы, которые в процессе теплопроводности протекают в каждом элементарном объеме тела:

1) поглощение тепловой энергии при нагреве или выделение при охлаждении;

2) прохождение теплоты через элементарный объем транзитом;

3) выделение или поглощение теплоты за счет действия внутренних источников или стоков теплоты мощностью qv.

В векторной форме записи дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид:

,

где – удельная объемная теплоемкость, Дж/(м3×К);– плотность, кг/м3; с – удельная массовая теплоемкость, Дж/(кг×К).

Напомним, что для твёрдых тел .

Решая это уравнение, мы получим температурное поле: Т(хi, t). Т.о. дифференциальное уравнение теплопроводности устанавливает связь между пространственным и временным изменениями температуры.

Вид формул для операторов дивергенции (div) и градиента (grad) зависят от выбора системы координат. Например, в декартовой системе координат ДУ теплопроводности примет вид:

,

или принимая допущение о независимости физических свойств вещества от температуры {}

,

где – коэффициент температуропроводности, м2/с.

В нашем кратком курсе ТМО будем решать дифференциальное уравнение Фурье для тел простейшей формы (бесконечная пластина, бесконечный цилиндр и шар или сфера) с постоянными физическими коэффициентами:

,

где x1 – первая координата в ортогональной системе координат: x1 = xв декартовой системе координат,x1= r в цилиндрической и сферической системах координат; k = 1, 2 или 3 – коэффициент формы тела: k = 1 – бесконечная пластина; k = 2 – бесконечный цилиндр; k = 3 – шар.

При отсутствии в системе внутренних источников\стоков теплоты (qv = 0) дифференциальные уравнения Фурье для тел простейшей формы записываются следующим образом:

k = 1 :; k = 2 : ;k = 3 : .

При неизменных условиях теплообмена (постоянных температурах флюида, омывающих тело с разных сторон, и постоянных коэффициентах теплоотдачи) на границах тела его температурное поле с некоторого момента времени перестает изменяться во времени и наступает стационарный режим теплопроводности, который для тел простейшей формы описывается уравнением Пуассона при действии внутренних источников теплоты

,

или уравнением Лапласа, если qv =0

.

В результате решения одномерного дифференциального уравнения для стационарного процесса теплопроводности находят температурное поле в виде T(x1) или в явном виде T(x) – в декартовой системе координат и T(r) – в цилиндрической и сферической системах координат.


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Энергетическая форма записи закона Фурье. Коэффициент температуропроводности | Условия однозначности, необходимые для решения уравнения Фурье

Дата добавления: 2014-03-11; просмотров: 1219; Нарушение авторских прав


lektsiopedia.org - Лекциопедия - 2013 год. | Страница сгенерирована за: 0.003 сек.