Математическая индукция

В основе метода математической индукции лежит аксиома индукции - одна из аксиом натуральных чисел.

Данный метод формулируется следующим образом:

Если некоторое предложение Р(к), зависящее от натурального переменного числа к,

1) верно при к = 1,

2) из того, что оно верно при к = n, следует, что оно верно и при следующем к = n + 1,

то предложение Р(к) верно для любого натурального числа к.

Доказательство методом математической индукции обязательно должно содержать две части:

а) проверку истинности предложения Р(1);

б) доказательство импликации Р(к)ÞР(к+1).

По ныне действующей программе метод математической индукции изучается в классах с углубленным изучением математики (либо в 8-м, либо в 10-м). Этот метод является трудным и непривычным даже для старшеклассников, а потому его усвоению необходимо уделить достаточно внимания путем разбора и решения большого количества разнообразных задач и разъяснением необходимости именно одновременного выполнения пунктов а) и б).

Для этого необходимо рассмотреть ряд примеров, когда индукция является неполной. Например, формула ¦(к) = 2к² + 29 дает 28 простых чисел при первых 28 значениях к. Здесь пункт а) выполнен, а вот пункт б) не справедлив, так как уже при к = 29 получаем составное число 29×59.

Метод математической индукции широко применяется как в алгебре, так и в геометрии. В алгебре он используется для доказательства

1) равенств;

2) неравенств;

3) делимости чисел;

4) различных формул.

Рассмотрим примеры для каждого из этих случаев.

ПРИМЕР 1. Докажите, что

(1)

Доказательство. Проверим наше равенство при n=1. Имеем

.

Получаем, что при n=1 равенство (1) верно.

Предположим, что (1) верно при n=k и докажем его при n = k + 1.

Имеем

Используя метод математической индукции, получаем, что равенство (1) верно для всех натуральных n.

ПРИМЕР 2. Пусть х₁, х₂, …, х_n - произвольные положительные числа, причем х₁х₂×××х_n=1. Доказать, что

х₁+х₂+…+х_n³n.

Доказательство. Если n=1, то по условию х₁=1 и, следовательно, можно написать х₁³1, т.е. для n=1 неравенство верно.

Предположим, что для n=k утверждение верно. Пусть х₁, х₂, …, х_k, х_k+1 - произвольные положительные числа и х₁х₂×××х_kx_k+1=1. Могут представиться два случая: либо все эти числа равны 1, и тогда их сумма равна k+1, либо среди этих чисел есть хотя бы одно число, не равное 1, и тогда обязательно есть , по крайней мере, еще одно число, не равное 1, причем, если одно из них меньше 1, то второе обязательно больше 1. Не ограничивая общности, можно считать, что x_k>1, а x_k+1<1. Рассмотрим теперь к чисел

х₁, х₂, …, х_k-1, (x_kx_k+1).

Дата добавления: 2014-08-04; просмотров: 360; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!