Уравнение Пьера Лапласа

Двумя парами меридиональных и конических плоскостей выделим элемент оболочки.

Обозначения:

σ_м - напряжения вдоль направления меридиана (меридиональные напряжения),

σ_к - напряжения по кольцевому сечению (окружные или кольцевые напряжения),

ρ_м - радиус дуги по меридиану,

ρ_к - радиус дуги кольцевого сечения,

δ - толщина оболочки,

P_вн- внутреннее давление,

P_н - наружное давление,

Избыточное внутренне давление (разность между внутренним и наружным давлениями)

P = P_внутр - P_нар.

Элемент форму менять не может: отсутствуют касательные напряжения (т.к. касательные напряжения изменяют форму).

Под действием нормальных напряжений элемент может изменять размеры:

σ_м и σ_к – главные напряжения.

Составим уравнение выделенного элемента оболочки.

Условие равновесия: сумма сил на нормаль оболочки равна нулю.

∑ N_n = 0

P·dS_м·dS_к − σ_м·dS_к·δ·sin ·2 − σ_к·dS_м·δ·sin ·2 = 0, [н].

т.к. углы малы, то:

sin ≈

sin ≈ ;

длина дуги:

dS_к = ρ_к·dθ

dS_м = ρ_м·dφ.

P·dS_м·dS_к − σ_м·dS_к·δ· ·2 − σ_к·dS_м·δ· ·2 = 0

P·dS_м·dS_к − σ_м·dS_к·δ·dφ − σ_к·dS_м·δ·dθ = 0

После замены синуса и сокращения ''2'' разделим на dS_м·dS_к·δ

P·dS_м·dS_к − σ_м·dS_к·δ·dφ − σ_к·dS_м·δ·dθ = 0 | : dS_м·dS_к·δ

– σ_м· – σ_к· = 0

– – = 0

Уравнение равновесия элемента оболочки:

.

Тонкостенная оболочка противодействует внутреннему давлению за счёт кривизны поверхности (к плоским стенкам не применимо).

В этом уравнении два неизвестных, поэтому запишем уравнение отсечённой части оболочки:

∑ F_z = 0

σ_м·cosα·2·π· r_i·δ – G_i – P_i·π· r_i² = 0

Условие прочности.

Стенка оболочки находится в двумерном напряжённом состоянии: это сложное напряжённое состояние.

Но для использования III-й гипотезы прочности это состояние необходимо свести к одномерному.

σ_экв^III = σ₁ – σ₃ ≤ [σ],

где: σ₁ > σ₂ > σ₃ (в алгебраическом смысле);

σ_м и σ_к – главные нормальные напряжения,

σ_кас – касательное напряжение.

Но, пренебрегая взаимным давлением молекул друг на друга в стенке, толщиной δ, примем σ_кас ≈ 0.

Пример: Цилиндрический сосуд находится под воздействием внутреннего давления.

Дано: D, δ, P.

Определить: σ_м, σ_к.

1.

∑ F_z = 0

σ_м·π·D·δ – P₁· = 0

Следует помнить, что

S_кольца = π·D·δ, а S_круга = .

.

2.Уравнение Лапласа для цилиндра:

→

.

Выводы:

▪ В цилиндре кольцевые напряжения в два раза больше чем меридиональные (поэтому зимой трубы лопаются вдоль, а не пополам).

▪ Цилиндрический сосуд с меньшим диаметром при одинаковой толщине стенок выдерживает большее давление.

Устойчивость оболочек.

Цилиндрические сосуды подразделяются на две группы: длинные и короткие.

Граничная длина:

L > L₀ – ''длинные'',

L < L₀ – ''короткие''.

У длинных и коротких сосудов по-разному происходит потеря устойчивости.

''Длинный'' цилиндрический сосуд.

Две волны: P⁽²⁾_{критическое}.

''Короткий'' цилиндрический сосуд.

Три волны: . Четыре волны: .

Короткий цилиндрический сосуд выдерживает большее давление, чем длинный при одинаковой толщине стенок, давлении и диаметре.

Критическое наружное давление можно рассчитать по формуле Попковича:

.

Запас прочности приближённо определяется из соотношения:

≈ 1,5 ÷ 2,5.

Замечание о конструктивном решении.

Как правило, запас по критическому давлению достигается не за счёт толщины стенки изделия, а за счёт продольных и поперечных рёбер жёсткости.

Напряжения в оболочках.

По законам механики: силы внутреннего давления, действующие на элементарную поверхность, уравновешиваются усилиями, приложенными по краям, касательными, поперечными силами и изгибающими моментами.

Учесть в процессе расчёта все нюансы механики (теория моментов) сложно, поэтому, пренебрегая действием изгибающих моментов и поперечных сил, расчёт ведут по мембранной теории (при этом S_{аппарата} -толщина стенки- очень мала по сравнению с длиной, а напряжение равномерно распределено по толщине).

Силы, действующие по касательной к окружности, называют кольцевыми, а по касательной к меридиану – меридиональными (осевыми), при этом кольцевые силы вызывают кольцевые напряжения, а меридиональные – меридиональные напряжения.

1). Для закрытого цилиндра:

,

при вертикальном положении сосудов:

P = h·γ , где:

γ – удельный вес жидкости, ;

R – средний радиус цилиндра, [м];

s – толщина стенки, [м].

2). Для сферического аппарата:

3). Для конического аппарата:

, где:

r – средний радиус кольца в точке определения напряжения [м];

α – угол между осью вращения и образующей конуса.

Напряжения σ_к и σ_м достигают максимального значения при .

Дата добавления: 2014-08-04; просмотров: 662; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!