Плотность распределения вероятности непрерывности случайной величины

Таким образом непрерывную случайную величину, можно также задать используя другую функцию, называющуюся плотностью распределения или плотностью вероятностью или дифференциальной функцией.

Определение: плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) - первую производную от функции распределения F(x)

Таким образом функция распределения является первообразной для плотности распределения. Для описания распределения вероятности дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал.

Теорема 7.1: вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение принадлежащую интервалу равна определённому интегралу от плотности распределения взятому в пределах от a до b:

(7.1)

Замечание: если f(x) чётная функция и концы интервалов симметричны относительно начала координат то

Нахождение функции распределения по известной плотности распределения.

Зная плотность распределения f(x), можно найти функцию распределения по формуле

Доказательство: действительно, по определению F(x)=P(X<x), очевидно, что неравенство X<x можно записать в виде . Полагая, что в соотношении (7.1) , получим, что

.

Таким образом, зная плотность распределения можно записать функцию распределения и наоборот

Пример: найти функцию распределения по данной плотности.

Построить график.

Решение:

если то ;

если a<x<b, то;

если x>b .

Функция распределения:

1

a b

Свойства плотности распределения:

- плотность распределения неотрицательная функция.

Доказательство: функция распределения неубывающая функция, график плотности распределения называется кривой распределения.

- несобственный интеграл равен 1 .

Доказательство: выражает вероятность события состоящая в том, что случайная величина принимает значение принадлежащие интервалу . Очевидно, что такое событие достоверно, следовательно вероятность события равна 1. В частности если возможное значение случайной величины принадлежит отрезку , то

Дата добавления: 2014-02-26; просмотров: 1407; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!