ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТЕЛА, ДВИЖУЩИХСЯ ПОСТУПАТЕЛЬНО

• Уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона):

в векторной форме

или

где — геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку; т — масса; а — ускорение; p=mv — импульс; N — число сил, действующих на точку;

в координатной форме (скалярной)

или , ,

где под знаком суммы стоят проекции сил F_i, на соответствующие оси координат.

• Сила упругости *

F_упр=-

где k — коэффициент упругости (жесткость в случае пружины);

х — абсолютная деформация.

Сила гравитационного взаимодействия *

где G — гравитационная постоянная; m₁ и m₂ — массы взаимодействующих тел, рассматриваемые как материальные точки; r — расстояние между ними.

Сила трения скольжения

F_тр=fN,

где f — коэффициент трения скольжения; N — сила нормального давления.

• Координаты центра масс системы материальных точек

, ,

где m_i — масса i-й материальной точки; x_i, y_i;, z_i; — ее координаты.

• Закон сохранения импульса

или

где N — число материальных точек (или тел), входящих в систему.

• Работа, совершаемая постоянной силой,

, или ,

где — угол между направлениями векторов силы F и перемещения r.

• Работа, совершаемая переменной силой,

где интегрирование ведется вдоль траектории, обозначаемой L.

• Средняя мощность за интервал времени t

.

• Мгновенная мощность

, или N=Fvcos ,

где dA — работа, совершаемая за промежуток времени dt.

• Кинетическая энергия материальной точки (или тела), движущейся поступательно,

T=mv²/2, или T=p²/(2m).

• Потенциальная энергия тела и сила, действующая на тело в данной точке поля, связаны соотношением

F= - grad П или ,

где i, j, k — единичные векторы (орты). В частном случае, когда

* См. сноску на с. 19.

поле сил обладает сферической симметрией (как, например, гравитационное),

• Потенциальная энергия упругодеформированного тела (сжатой или растянутой пружины)

П=kx²/2.

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек (или тел) массами m₁, и т₂, находящихся на расстоянии r друг от друга,

• Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,

П=mgh,

где h — высота тела над уровнем, принятым за нулевой для отсчета потенциальной энергии. Эта формула справедлива при условии h <<R, где R — радиус Земли.

• Закон сохранения энергии в механике выполняется в замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы, и записывается в виде

T+П== const.

• Применяя законы сохранения энергии и импульса к прямому центральному удару шаров, получаем формулу скорости абсолютно неупругих шаров после удара

и формулы скорости абсолютно упругих шаров после удара:

где m₁ и m₂ — массы шаров; v₁ и v₂ — их скорости до удара.

§ 3. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

• Момент силы F, действующей на тело, относительно оси вращения

,

где — проекция силы F на плоскость, перпендикулярную оси вращения; l — плечо силы F (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).

• Момент инерции относительно оси вращения:

а) материальной точки

J=mr²,

где т — масса точки; r — расстояние ее от оси вращения;

б) дискретного твердого тела

где — масса i-го элемента тела; r_i — расстояние этого элемента от оси вращения; п — число элементов тела;

в) сплошного твердого тела

Если тело однородно, т. е. его плотность одинакова по всему объему, то

dm= dV и

где V — объем тела.

• Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы:

• Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно произвольной оси

J=J₀+ma²,

где J₀ — момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно заданной оси; а — расстояние между осями; m — масса тела.

• Момент импульса вращающегося тела относительно оси

L=J .

• Закон сохранения момента импульса

где L_i — момент импульса i-го тела, входящего в состав системы. Закон сохранения момента импульса для двух взаимодействующих тел

где — моменты инерции и угловые скорости тел до взаимодействия: — те же величины после взаимодействия.

Закон сохранения момента импульса для одного тела, момент инерции которого меняется,

где — начальный и конечный моменты инерции; —• начальная и конечная угловые скорости тела.

• Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

Mdt=d(J ), где М — момент силы, действующей на тело в течение времени dt;

J — момент инерции тела; — угловая скорость; J — момент импульса.

Если момент силы и момент инерции постоянны, то это уравнение записывается в виде

М t=J .

В случае постоянного момента инерции основное уравнение динамики вращательного движения принимает вид

M=J , где — угловое ускорение.

• Работа постоянного момента силы М, действующего на вращающееся тело,

A=Mj,

где j — угол поворота тела.

• Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела,

N=M .

• Кинетическая энергия вращающегося тела

T=1/2J .

• Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения,

T==¹/₂mv²+^l/₂J ,

где ^l/₂mv² — кинетическая энергия поступательного движения тела; v — скорость центра инерции тела; ^l/₂J ,— кинетическая энергия вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр инерции.

• Работа, совершаемая при вращении тела, и изменение кинетической энергии его связаны соотношением

.

• Величины, характеризующие динамику вращательного движения, и формулы, описывающие это движение, аналогичны соответствующим величинам и формулам поступательного движения.

Эта аналогия раскрывается следующей таблицей:

Поступательное движение Вращательное движение

Основной закон динамики

F t=mv₂—mv₁; M t=J —J ;

F = та М = .J

Закон сохранения

импульса момента импульса

Работа и мощность

A=Fs; А=М ,

N=Fv N=M

Кинетическая энергия

Т =1/2 mv² T=1/2J

Дата добавления: 2014-11-06; просмотров: 577; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!