Студопедия

Главная страница Случайная лекция

Порталы:

БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика






ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТЕЛА, ДВИЖУЩИХСЯ ПОСТУПАТЕЛЬНО

Читайте также:
  1. Виды материальной ответственности.
  2. Внешний уровень. Это представление БД с точки зрения конечных пользователей.
  3. Возникает при деформации тела, т.е. при изменении взаимного расположения частиц, из которых состоит тело.
  4. Возрастная динамика естественного развития силы
  5. Вопрос. Динамика культуры
  6. Глава 12. Динамика экосистем
  7. Глобальные изменения среды и динамика биоразнообразия
  8. Движение точки по окружности
  9. Движения самой точки.
  10. Динамика

• Уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона):

в векторной форме

или

где — геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку; т — масса; а — ускорение; p=mv импульс; N — число сил, действующих на точку;

в координатной форме (скалярной)

или , ,

где под знаком суммы стоят проекции сил Fi, на соответствующие оси координат.

• Сила упругости *

Fупр=-


где k — коэффициент упругости (жесткость в случае пружины);

х — абсолютная деформация.

Сила гравитационного взаимодействия *

где G — гравитационная постоянная; m1 и m2 — массы взаимодействующих тел, рассматриваемые как материальные точки; r расстояние между ними.

Сила трения скольжения

Fтр=fN,

где f — коэффициент трения скольжения; N — сила нормального давления.

• Координаты центра масс системы материальных точек

, ,

где mi — масса i-й материальной точки; xi, yi;, zi; — ее координаты.

• Закон сохранения импульса

или

где N — число материальных точек (или тел), входящих в систему.

• Работа, совершаемая постоянной силой,

, или ,

где — угол между направлениями векторов силы F и перемещения r.

• Работа, совершаемая переменной силой,

где интегрирование ведется вдоль траектории, обозначаемой L.

• Средняя мощность за интервал времени t

.

• Мгновенная мощность

, или N=Fvcos ,

где dA — работа, совершаемая за промежуток времени dt.

• Кинетическая энергия материальной точки (или тела), движущейся поступательно,

T=mv2/2, или T=p2/(2m).

• Потенциальная энергия тела и сила, действующая на тело в данной точке поля, связаны соотношением

F= - grad П или ,

где i, j, k — единичные векторы (орты). В частном случае, когда

* См. сноску на с. 19.

поле сил обладает сферической симметрией (как, например, гравитационное),

• Потенциальная энергия упругодеформированного тела (сжатой или растянутой пружины)

П=kx2/2.

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек (или тел) массами m1, и т2, находящихся на расстоянии r друг от друга,

• Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,

П=mgh,

где h — высота тела над уровнем, принятым за нулевой для отсчета потенциальной энергии. Эта формула справедлива при условии h <<R, где R — радиус Земли.

• Закон сохранения энергии в механике выполняется в замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы, и записывается в виде

T+П== const.

• Применяя законы сохранения энергии и импульса к прямому центральному удару шаров, получаем формулу скорости абсолютно неупругих шаров после удара

и формулы скорости абсолютно упругих шаров после удара:

где m1 и m2 — массы шаров; v1 и v2 — их скорости до удара.

§ 3. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

• Момент силы F, действующей на тело, относительно оси вращения

,

где проекция силы F на плоскость, перпендикулярную оси вращения; l — плечо силы F (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).

• Момент инерции относительно оси вращения:

а) материальной точки

J=mr2,

где т — масса точки; r — расстояние ее от оси вращения;

б) дискретного твердого тела



где — масса i-го элемента тела; ri — расстояние этого элемента от оси вращения; п — число элементов тела;

в) сплошного твердого тела

Если тело однородно, т. е. его плотность одинакова по всему объему, то

dm= dV и

где V — объем тела.

• Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы:

Тело Ось, относительно которой определяется момент инерции Формула момента инерции
Однородный тонкий стержень массой т и длиной l   Тонкое кольцо, обруч, труба радиусом R и массой т, маховик радиусом R и массой т, распределенной по ободу   Круглый однородный диск (цилиндр) радиусом R и массой т Однородный шар массой т и радиусом R Проходит через центр тяжести стержня перпендикулярно стержню Проходит через конец стержня перпендикулярно стержню Проходит через центр перпендикулярно плоскости основания   Проходит через центр диска перпендикулярно плоскости основания Проходит через центр шара 1/12ml2   1/3ml2 mR2   1/2mR2   2/5mR2

• Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно произвольной оси

J=J0+ma2,

где J0 момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно заданной оси; а — расстояние между осями; m — масса тела.

• Момент импульса вращающегося тела относительно оси

L=J .

• Закон сохранения момента импульса

где Li момент импульса i-го тела, входящего в состав системы. Закон сохранения момента импульса для двух взаимодействующих тел

где — моменты инерции и угловые скорости тел до взаимодействия: — те же величины после взаимодействия.

Закон сохранения момента импульса для одного тела, момент инерции которого меняется,

где — начальный и конечный моменты инерции; —• начальная и конечная угловые скорости тела.

• Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

Mdt=d(J ), где М — момент силы, действующей на тело в течение времени dt;

J — момент инерции тела; — угловая скорость; J момент импульса.

Если момент силы и момент инерции постоянны, то это уравнение записывается в виде

М t=J .

В случае постоянного момента инерции основное уравнение динамики вращательного движения принимает вид

M=J , где — угловое ускорение.

• Работа постоянного момента силы М, действующего на вращающееся тело,

A=Mj,

где j — угол поворота тела.

• Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела,

N=M .

• Кинетическая энергия вращающегося тела

T=1/2J .


• Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения,

T==1/2mv2+l/2J ,

где l/2mv2 кинетическая энергия поступательного движения тела; v — скорость центра инерции тела; l/2J ,— кинетическая энергия вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр инерции.

• Работа, совершаемая при вращении тела, и изменение кинетической энергии его связаны соотношением

.

• Величины, характеризующие динамику вращательного движения, и формулы, описывающие это движение, аналогичны соответствующим величинам и формулам поступательного движения.

Эта аналогия раскрывается следующей таблицей:

 

Поступательное движение Вращательное движение

 


Основной закон динамики

F t=mv2—mv1; M t=J —J ;

F = та М = .J

Закон сохранения

импульса момента импульса

Работа и мощность

A=Fs; А=М ,

N=Fv N=M

Кинетическая энергия

Т =1/2 mv2 T=1/2J


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
ГЛАВА 1 ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ | СИЛЫ В МЕХАНИКЕ

Дата добавления: 2014-11-06; просмотров: 577; Нарушение авторских прав


lektsiopedia.org - Лекциопедия - 2013 год. | Страница сгенерирована за: 0.007 сек.