Теорема Гюйгенса-Штейнера

Как связаны между собой моменты инерции твердого тела относительно двух параллельных осей?

Рассмотрим две параллельные оси z₁ и z₂. Введём две системы координат так, чтобы их оси х и у были параллельны друг другу, причем вторая система координат была получена параллельным переносом из первой на вектор , перпендикулярный осям z₁ и z₂ . Тогда расстояние между осями будет равно .

В этом случае координаты любой i-й малой частицы тела связаны соотношениями : , , .

Квадрат расстояния от этой частицы до первой оси z₁:

и до второй оси z₂ : .

Вычисляем момент инерции относительно второй оси:

,

.

В этом равенстве

- момент инерции тела относительно оси z₁,

,

.

Учтём, что и (где x_1С и y_1С – координаты центра масс тела в 1й системе координат), и получим:

.

Если предположить, что ось z₁ проходит через центр масс тела, то x_1С =0 и y_1С =0, поэтому в этом случае выражение упрощается:

.

Это выражение носит название теоремы Гюйгенса-Штейнера: момент инерции твердого тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела и квадрата расстояния между осями, умноженного на массу тела.

Пример. Момент инерции стрежня относительно оси, проходящей через край стержня, перпендикулярно ему, равен сумме момента инерции относительно срединной оси и массе, умноженный на квадрат половины длины стержня:

.

Дата добавления: 2014-03-04; просмотров: 548; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!