Решение. Устраним индуктивную связь и получим эквивалентную Т-схему четырёхполюсника (рис

Устраним индуктивную связь и получим эквивалентную Т-схему четырёхполюсника (рис. 5.10,б), у которого

Z₁ = -jх_С + j(х₁+х_М) = -j35 + j(20 + 10) = -j5 Ом,

Z₂ = -jх_М = -j10 Ом,

Z₀ = j(х₂+х_М) = j(60 + 10) = j70 Ом.

Для Т-схемы четырёхполюсника связь между коэффициентами и сопротивлениями установлена:

A = 1 + = 1 + (-j5)/(j70) = 0,928;

B = Z₁+ Z₂+ = -j5 – j10 + = -j15,70 Ом;

C = = = -j0,0143 См;

D = 1 + = 1 + = 0,857.

Ток нагрузки I₂= = = 3 А.

Примем I₂= 3 А, по закону Ома U₂= I₂×Z₂= 3×50 = 150 B.

Далее U₁= А×U₂ + B×I₂ = 0,928×150 + (-j15,7)×3 = 147×e ^–j18,7° B,

I₁= С×U₂ + D×I₂ = -j0,0143×150 + 0,857×3 = 3,35×e ^–j39,8° А,

P₁= Re(U₁× ) = Re(147×e ^–j18,7°×3,35×e ^j39,8°) = 459 Bт » P₂= 450 Bт.

Обратим внимание, что рассматриваемая схема четырёхполюсника яв-ляется схемой без потерь (без активных сопротивлений), для которой P₁= P₂. Расхождение в 9 Bт появилось вследствие округления результатов вычислений до трёх значащих цифр. При этом относительная погрешность вычислений по мощности составила e % = ×100 = ×100 = 2%, что допустимо при выполнении расчётов с указанной точностью.

ЗАДАЧА 5.9. Определить А-коэффициенты Х-схемы (мостовая схема) четырёхполюсника, пред-ставленного на рис. 5.11, если r = x_L = x_С = 10 Ом.

Указание. При отборе единственного значения коэффициента А рекомендуется построить диаграмму комплексных потенциалов четырёхполюсника для режима холостого хода, приняв j _1¢ = 0.

Ответы: А = 0,6 + j0,8, В = j20 Ом, С = 0,1 + j0,1 См, D = 1 + j2.

Задача 5.10. а) На зажимы источника переменного напряжения с ЭДС Е = 100 В и внутренним сопротивлением Z_в = r_в = 1 Ом подключена нагруз-ка Z_н = r_н = 9 Ом (рис. 5.12,а). Определить активную мощность приёмника Р_н.

Решениезадания а). Ток в цепи рис. 5.12,а

I = = = 10 А,

активная мощность приёмника Р_н = I ²×r_н = 10 ²×9 = 900 Вт.

Решениезадания б). Нагрузкой генератора в схеме рис. 5.12,б является четырёхполюсник, на выходные зажимы которого подключен приёмник, сопротивление которого Z_н = r_н = 9 Ом. Задачу передачи максимальной мощности от генератора через четырёхполюсник к приёмнику будем решать в два этапа:

1. Подберём такое сопротивление нагрузки на генератор Z₁, при котором на вход четырёхполюсника поступит максимально возможная мощность Р_1max.

На основании основных уравнений четырёхполюсника при нагрузке Z₂ = r_н его входное сопротивление

Z₁ = .

Так как четырёхполюсник ещё требуется подобрать, то его коэффициенты можно принимать любыми, изменяя таким образом нагрузку на генератор.

Заметим, что устройство, с помощью которого можно изменить (трансформировать) сопротивление нагрузки, называется трансформатором сопротивления, а задача подбора схемы с заданными свойствами (в рассматриваемом примере четырёхполюсника) называется задачей синтеза электрической цепи.

В разделах курса «Линейные цепи постоянного тока», «Линейные цепи синусоидального тока» изучен вопрос об условиях передачи максимальной активной мощности от активного двухполюсника к пассивному. При полной компенсации реактивной мощности в цепи генератора, что имеет место в условиях рассматриваемой задачи 5.10,а, это условие выражается равенством r_в = r_н.

Таким образом, первое расчётное уравнение для синтеза четырёхполюсника принимает вид: Z₁ = = r_в. (1)

2. Рассматривая левую часть схемы рис. 5.12,б по отношению к выход-ным зажимам 2-2¢ четырёхполюсника как эквивалентный генератор с внут-ренним сопротивлением Z₂ пассивной части схемы, запишем условие пере-дачи максимальной мощности от эквивалентного генератора в нагрузку r_н:

Z₂ = = r_н. (2)

Для определения четырёх коэффициентов А, В, С, D требуется система четырёх линейно независимых уравнений. Третье расчётное уравнение определяется свойством коэффициентов четырёхполюсника

АD – ВС = 1. (3)

Недостающее четвёртое уравнение позволяет нам свободу выбора вплоть до принятия одного коэффициента любым комплексным числом. Таким образом, задача синтеза четырёхполюсника, необходимого для увеличения передаваемой мощности в приёмник, имеет бесконечно большое число решений.

Обычно для получения четвёртого расчётного уравнения поступают одним из двух способов:

1. Синтезируют симметричный четырёхполюсник, когда А = D и для реализации принимают простейшие из схем: Т-образный или П-образный четырёхполюсник;

2. Принимают коэффициент D = 1, и тогда и Т-, и П-схема превраща-ется в несимметричную Г-схему вида рис. 5.14,а.

Приведём решение обоих вариантов.

1. Синтез симметричного четырёхполюсника.

Коэффициенты искомого четырёхполюсника определяются системой уравнений:

= r_в; = r_н; АD – ВС = 1; А = D.

Приведём подробное решение системы:

А×r_н + В = С×r_в×r_н + D×r_в, учтём А = D, а затем вычтем второе

D×r_в + В = С×r_в×r_н + А×r_н. уравнение из первого. Получим:

А×(r_н – r_в) = А×(r_в – r_н), откуда А = 0 = D.

Для определения двух оставшихся коэффициентов решаем систему уравнений, в которой учтено А = D = 0:

В = С×r_в×r_н; -ВС = 1, откуда В = ±j , С = ±j ,

причём с учётом -ВС = 1 знаки при мнимой единице j должны быть одина-ковыми для В и С.

Получаем два варианта решения:

а) А = D = 0; б) А = D = 0;

В = +j = j = j3 Ом; В = -j = -j = -j3 Ом;

С = +j = j См. С = -j = -j См.

Рассчитываем параметры типовых Т- и П-схем четырёхполюсников по известным коэффициентам:

- для Т-схемы Z_1Т = Z_2Т = = ± j3 Ом, Z_0Т = = j3 Ом.

- для П-схемы Z_1П = Z_2П = = j3 Ом, Z_0П = В = ± j3 Ом.

В ответах верхние знаки относятся к варианту а), нижние – к варианту б). Соответствующие схемы с указанием сопротивлений в Ом приведены на рис. 5.13.

При использовании любой из этих схем Z₁ = r_в = 1 Ом,

ток в цепи генератора станет I₁ = = = 50 А,

активная мощность на входе четырёхполюсника

Р_1max = I ²×Z₁= 50 ²×1 = 2500 Вт.

Так как четырёхполюсник выполнен из реактивных элементов, не имеет потерь, то активная мощность приёмника Р_2max = Р_1max = 2500 Вт

вместо Р₂= 900 Вт исходной схемы рис. 5.12,а.

2. Синтез Г-схемы четырёхполюсника.

Коэффициенты искомой схемы четырёхполюсника определим решением системы уравнений

= r_в; = r_н; АD – ВС = 1; D = 1.

Из этой системы получаем два варианта решения:

а) А = ; В = j2 Ом; С = j См; D = 1;

Ом

j См

Этим вариантам соответствуют только две Г-схемы, приведенные на рис. 5.14.

На рис. 5.14 сопротивления индуктивных и ёмкостных элементов представлены в Ом. Здесь так же, как и в случае применения схем рис. 5.13

Р_1max = Р_2max = 2500 Вт, I₁= = = 50 А.

Ток нагрузки можно определить по формуле I₂= .

Например, для схемы рис. 5.14,а он равен

I₂= = ×e ^–j70,53° А.

ЗАДАЧА 5.11. Эквива-лентность четырёхполюсни-ков. Сопротивления элемен-тов на схемах (рис. 5.15) даны в Омах.

Необходимо показать, что приведенные четырёхполюсники эквивалентны.

Указания. Поскольку четырёхполюсники обратимы, достаточно сравнить значения сопротивлений Z_1Х, Z_1К у обоих 4-полюсников.

В нашем примере: Z_1Х = 100 + j200 Ом, Z_1К = 100 – j200 Ом,

Z_2Х = +j100 Ом, Z_2К = 80 – j 60 Ом.

Значения сопротивлений со вторичных зажимов приведены просто для контроля.

Задача 5.12. Симметричный 4х-полюсник с r_нг = 5 кОм питается от источника Е₁ = 48 В (рис. 5.12б). При замкнутом рубильнике S ток на входе I₁ = 3,2 мA, на выходе I₂ = 1,6 мА.

Определить А-коэффициенты четырёхполюсника и найти токи при разомкнутом рубильнике.

Методические указания: необходимо записать уравнения для режима короткого замыкания. Это позволит найти А-коэффициенты 4-полюсника.

Ответы: I₁ = 3 мA, I₂ = 1,2 мА.

Задача 5.13. На выходе симметричного 4х-полюсника, нагруженного на сопротивление Z_нг = Z_c и имеющего коэффи-циенты A = 1+ j1, B = 10 + j10 Ом, протекает ток I₂ = 2 A. Рассчитайте ток и напряжение на входе четырёхполюсника.

Ответы: U₁ = 54,65×е ^j38,52° В,

I₁ = 5,777×е ^j51,8° А, Z_c = 9,46×е ^–j13,28° Ом.

Задача 5.14. Четырёхполюсник с известными А-параметрами (А = = 0,5; В =10 + j10 Ом; С = -j0,05 См; D =1 – j1) собран по Т-схеме (рис. 5.17) и нагружен сопротивлением Z_H = 20×е ^+j90° Ом. Требуется рассчитать токи на входе и выходе четырёхполюсника, построить векторную диаграмму.

Методические указания: начать следует с определения сопротивлений четырёхполюсника. Они будут нужны для построения векторной диаграммы.

Ответы: I₁ = 20 – j10 А; I₂ = 10 A.

Задача 5.15. Для симметричного четырёхполюсника экспериментально установлено, что Z_1Х = 10×е ^+j90° Ом, Z_2К = 10×е ^+j30° Ом. Требуется определить А-параметры четырёхполюсника и угол сдвига фаз между входными напряжением и током при согласованной нагрузке.

Ответы: А = D = 1·е ^-j30°; В = 10 Ом; С = 0,1×е ^–j120° См; j = j_C = 60°.

Дата добавления: 2014-10-10; просмотров: 447; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!