Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Это уравнения, имеющие вид ,

где – постоянные коэффициенты.

Однородным линейным уравнением -го порядка называются уравнения вида .

Решение однородного уравнения. Искать частное решение однородного уравнения будем в виде . Подставив в указанном виде в однородное уравнение, получим . Следовательно, неизвестное значение сомножителя мы найдем, если решим алгебраическое уравнение -й степени

,

называемое характеристическим уравнением.

В соответствии с основной теоремой алгебры характеристическое уравнение имеет ровно корней, считая все вещественные и комплексные корни с учетом их кратности.

Легко заметить, что если – два линейно-независимых частных решения однородного уравнения, то также удовлетворяет тому же однородному уравнению при любых .

Рассмотрим все случаи корней характеристического уравнения и определим вид частного решения так, чтобы все частные решения были линейно-независимыми. Получив линейно-независимых частных решений, мы сможем построить общее решение однородного уравнения , содержащее произвольных постоянных и позволяющее решать любую задачу Коши с начальными данными . Действительно, такая задача сведется к поиску конкретных значений постоянных из системы линейных уравнений

с ненулевым главным определителем системы

.

а) Простой вещественный корень. Простому вещественному корню характеристического уравнения соответствует частное решение .

П р и м е р. Решить однородное дифференциальное уравнение . Построим характеристическое уравнение . Это характеристическое уравнение имеет три простых корня: . Поэтому общим решение исходного дифференциального уравнение является функция .

б) Вещественный корень кратности . Если корень характеристического уравнения имеет кратность , то, естественно, мы не можем использовать одинаковых частных решений вида , соответствующих этому корню, так как эти решения будут линейно зависимыми. В указанном виде мы сможем взять только одно из частных решений. Можно показать, что все частных решений, соответствующих данному корню характеристического уравнения, имеют вид , то есть функции , удовлетворяют исходному однородному дифференциальному уравнению. Заметим прежде всего, что если – корень уравнения кратности , то – корень любого из уравнений .

Покажем, как проводится доказательство того, что (случай ) удовлетворяет исходному однородному уравнению. Подставим в левую часть исходного однородного дифференциального уравнения и получим

Первое выражение в квадратных скобках обращается в ноль, так как – корень характеристического уравнения, второе выражение в квадратных скобках обращается в ноль, так как – корень уравнения . Подобным же образом можно показать, что функции , удовлетворяют исходному однородному дифференциальному уравнению.

П р и м е р. Решить однородное дифференциальное уравнение . Характеристическое уравнение имеет вид , и следовательно, имеет корни 0 (кратности четыре) и 1 (кратности два). Поэтому общим решением исходного дифференциального уравнения является функция .

в) Простой комплексный корень. При решении алгебраического уравнения с вещественными коэффициентами наличие комплексного корня обеспечивает наличие комплексно сопряженного корня . Поэтому можно было бы в качестве частных решений, соответствующих этой паре корней, взять функции . Однако для того, чтобы не привлекать комплексные числа для решения дифференциальных уравнений с вещественными коэффициентами, используя формулу Эйлера , в качестве частных решений берут функции и .

П р и м е р. Решить дифференциальное уравнение . Характеристическим уравнением является уравнение . Корнями этого уравнения являются (кратности 2) и комплексные корни . Поэтому общее решение имеет вид .

г) Комплексные корни кратности . В случае, когда характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряженных корня кратности , соответствующие этим корням частные решения соответствующего однородного дифференциального уравнения имеют вид , и .

П р и м е р. Решить дифференциальное уравнение . Характеристическое уравнение можно представить в виде , следовательно, корнями характеристического уравнения являются (кратности 2) и (кратности 2). Поэтому общим решение заданного однородного дифференциального уравнения будет функция .

Решение неоднородного уравнения. Мы уже знаем, как найти общее решение однородного уравнения. Чтобы найти общее решение неоднородного уравнения, нужно найти частное решение неоднородного уравнения и прибавить к нему уже найденное общее решение соответствующего однородного уравнения. Действительно, пусть – общее решение однородного уравнения , содержащее произвольных постоянных . Если удовлетворяет неоднородному уравнению , то функция удовлетворяет тому же неоднородному уравнению и содержит произвольные постоянные .

Таким образом, вопрос о нахождении общего решения неоднородного уравнения сводится к вопросу о нахождении частного решения неоднородного уравнения. Существуют разные методы построения такого решения. Рассмотрим метод вариации произвольной постоянной, который позволяет сразу получить общее решение неоднородного уравнения.

Суть этого метода в том, что, получив решение соответствующего однородного уравнения в виде , мы ищем общее решение неоднородного уравнения в виде и подбираем такие неизвестные функции , чтобы функция удовлетворяла неоднородному уравнению. Оказывается, что для этого достаточно, чтобы эти производные этих неизвестных функций удовлетворяли системе

Докажем это для случая . Пусть необходимо решить уравнение . Решение однородного уравнения имеет вид , причем . Возьмем общее решение неоднородного уравнения в виде и подставим в неоднородное уравнение. Мы получим:

Выражения, имеющие сомножителями и обращаются в ноль, поэтому имеем:

Пусть . Взяв производные от обеих частей этого равенства, получим . Поэтому для того, чтобы функция была решением неоднородного уравнения, остается положить .

П р и м е р. Решить дифференциальное уравнение . Характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения имеет вид . Следовательно, общее решение однородного уравнения – функция . Поэтому общее решение неоднородного уравнение ищем в виде . Для определения неизвестных функций составим систему относительно их производных

Сокращая уравнения на , мы получим систему с главным определителем, равным 1. Решая систему и интегрируя, получим

. Общее решение исходного уравнения запишется теперь в виде . Заметим, что в силу произвольности константы выражение можно заменить выражением . Поэтому решение можно записать в виде .

Дата добавления: 2014-11-24; просмотров: 327; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!