ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

1. Основные понятия и определения

Определение.

1. Пусть в замкнутой области (области с границей) D плоскости хОу задана непрерывная функция z=ƒ(х;у).

2. Разобьем область D на n «элементарных областей» , площади которых обозначим через ΔS_i, а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) - через d_i..

3. В каждой области D_i выберем произвольную точку M_i (x_i;y_i), умножим значение ƒ(х_i;у_i) функции в этой точке на ΔS_i и составим сумму всех таких произведений:

(1)

Эта сумма называется интегральной суммой функции ƒ(х;у) в области D.

4. Рассмотрим предел интегральной суммы (1), когда n стремится к бесконечности таким образом, что max d_i 0. Если этот предел существует, конечен и не зависит ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции ƒ(х;у) по области D и обозначается

(или )

Таким образом, двойной интеграл определяется равенством

(2)

В этом случае функция ƒ(х;у) называется интегрируемой в области D; D - область интегрирования; х и у - переменные интегрирования; dxdy (или dS) - элемент площади.

Для всякой ли функции существует двойной интеграл? Каковы необходимые и достаточные условия его существования?

Теорема 1 (необходимое условие интегрируемости функции).

Если функция z=ƒ(х; у) интегрируема по области D, то она ограничена в этой области.

Теорема 2 (достаточное условие интегрируемости функции).

Если функция z=ƒ(х; у) непрерывна в ограниченной замкнутой области D, то она интегрируема по этой области.

На самом деле, функция интегрируема при менее жестких ограничениях:

Теорема 3.

Ограниченная функция, имеющая конечное число точек и линий (спрямляемых, т.е. конечной длины) разрыва в области D, интегрируема по этой области.

2. Основные свойства двойного интеграла

Перечислим без доказательства основные свойства двойного интеграла, считая подынтегральные функции интегрируемыми.

1). - линейность

2). - линейность.

3). Если область D разбить линией на две области D1 и D2 такие, что , а пересечение D₁ и D₂ состоит лишь из линии, их разделяющей, то

- аддитивность.

4). Если в области D имеет место неравенство ƒ(х; у) 0, то и . Если в области D функции ƒ(х;у) и (х;у) удовлетворяют неравенству , то и интегрирование неравенств.

5). , Так как .

6). Если функция ƒ(х; у) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то , где m и М - соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области D.

7). Если функция ƒ(х;у) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то в этой области существует такая точка (х_о; у_о), что .

Величину называют средним значением функции ƒ(х; у) в области D.

3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов.

1. Положим сначала, что область D представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямыми х=а и х=b и кривыми у=φ₁(x) и у=φ₂(х), причем функции φ₁(x) и φ₂(х) непрерывны и таковы, что φ₁(x) ≤ φ₂(х) для всех х є [а; b] (см. рис). Такая область называется правильной в направлении оси Оy

Определение.

Назовем область D правильной в направлении оси Оy, если она

1. ограничена: сверху — графиком только одной функции , снизу — графиком только одной функции .

2. любая прямая, параллельная оси Oy и проходящая через внутреннюю точку области D пересекает ее границу только в двух точках.

При таких областях интегрирования, двойной интеграл вычисляется по формуле:

(3)

Формула (3) представляет собой способ вычисления двойного интеграла в декартовых координатах. Правую часть формулы (3) называют двукратным (или повторным) интегралом от функции ƒ(х; у) по области D.

При этом называется внутренним интегралом.

Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая х постоянным, затем берем внешний интеграл, т. е. результат первого интегрирования интегрируем по х в пределах от а до b.

2. Если же область D ограничена прямыми y=c и y=d (c<d), кривыми x=Ψ₁(у) и х=Ψ₂(у), причем Ψ₁(у)≤Ψ₂(у) для всех у є [с; d], т. е. область D - правильная в направлении оси Оx, то аналогично получим:

(4)

Замечания.

1. Если область D правильная в обоих направлениях, то двойной интеграл можно вычислять как по формуле (3), так и по формуле (4).

2, Если область D не является правильной (верхняя или нижняя граница интегрирования внутреннего интеграла не записывается одной формулой, или любая прямая, параллельная оси Oy (Ox) и проходящая через внутреннюю точку области D пересекает ее границу более, чем в двух точках), то для сведения двойного интеграла к повторным область D следует разбить на части, правильные в направлении оси Оу или оси Ох.

3. Полезно помнить, что внешние пределы в двукратном интеграле всегда постоянны, а внутренние, как правило, переменные. Внутренние пределы постоянны только для координатного прямоугольника. Внутренние пределы интегрирования могут зависеть только от внешней переменной.

Примеры.

1. Вычислить повторный интеграл (Отв. )

2. По какой переменной взят внешний интеграл? Написать уравнения кривых, ограничивающих область интегрирования и построить эту область:

3. D: у = х, у = х-3, у = 2, у = 4. Записать в виде повторных в различных порядках.

4. Изменить порядок интегрирования:

5. Вычислить , где область D: у =x², у=0, х+у-2=0.

4. Замена переменных. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют метод подстановки (как это делалось и при вычислении определенного интеграла), т. е. вводят новые переменные под знаком двойного интеграла.

Определим преобразование независимых переменных х и у (замену переменных) как

и (5)

Если функции (5) имеют в некоторой области D* плоскости Ouv непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля определитель

, (6)

а функция ƒ(х; у) непрерывна в области D, то справедлива формула замены переменных в двойном интеграле:

(7)

Функциональный определитель (6) называется определителем Якоби или якобианом (Г.Якоби - немецкий математик). Доказательство формулы (7) не приводим.

Рассмотрим частный случай замены переменных, часто используемый при вычислении двойного интеграла, а именно замену декартовых координат х и у полярными координатами r и .

В качестве u и υ возьмем полярные координаты r и . Они связаны с декартовыми координатами формулами х=rcos , у=r sin  .

Правые части в этих равенствах - непрерывно дифференцируемые функции. Якобиан преобразования определяется из (6)

.

Формула замены переменных (7) принимает вид:

(8)

где D* - область в полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат.

Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют то же правило сведения его к двукратному интегралу.

(9)

Замечания.

1. Переход к полярным координатам полезен, когда подынтегральная функция имеет вид ƒ(х²+у²); область D есть круг, сектор, кольцо. При расстановке пределов в полярных координатах r обычно считают внутренней переменной, а φ − внешней.

2. В случае эллиптической области выгоднее использовать обобщенные полярные координаты: х=arcos, у=brsin, dxdy=abrdr d.

Пример.

Вычислить , где область D - круг .

Решение: Применив формулу (8), перейдем к полярным координатам:

Область D в полярной системе координат определяется неравенствами (см. рис) 0≤≤2,0≤r≤3. Заметим: область D - круг - преобразуется в область D* - прямоугольник. Поэтому, согласно формуле (9), имеем:

.

5. Приложения двойного интеграла

Приведем некоторые примеры применения двойного интеграла.

1. Объем тела (геометрический смысл двойного интеграла)

Объем цилиндрического тела находится по формуле

(10)

где z=ƒ(х; у)>=0 - уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.

2. Площадь плоской фигуры

Если положить в формуле (10) ƒ(х; у)=1, то цилиндрическое тело «превратится» в прямой цилиндр с высотой 1. Объем такого цилиндра, как известно, численно равен площади S основания D. Получаем формулу для вычисления площади S области D:

(11)

3. Масса плоской фигуры (физический смысл двойного интеграла)

Масса плоской пластинки D с переменной плотностью =(х; у) находится по формуле

(12)

4. Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры

Статические моменты фигуры D относительно осей Ох и Оу могут быть вычислены по формулам

и (13)

а координаты центра масс фигуры - по формулам

и (14)

5. Моменты инерции плоской фигуры

Моментом инерции материальной точки массы m относительно оси l называется произведение массы m на квадрат расстояния d точки до оси, т. е. М_l = m•d². Моменты инерции плоской фигуры относительно осей Ох и Оу могут быть вычислены по формулам:

и (15)

Момент инерции фигуры относительно начала координат – по формуле М_о=М_х +М_у.

6. Площадь поверхности

Пусть поверхность S задана явным уравнением z=ƒ(х;у). D – её проекция на плоскость хОу. И в этой области функция z=ƒ(х;у) однозначна, непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого порядка по х и по у. Тогда

(16)

Пример.

Найти массу, статические моменты S_x и S_y и координаты центра тяжести фигуры, лежащей в первой четверти, ограниченной эллипсом и координатными осями (см. рис). Поверхностная плотность в каждой точке фигуры =(х;у)= 30 • ху.

Решение: По формуле (12) находим массу пластинки.

Находим статические моменты

,

и координаты центра тяжести пластинки.

, .

ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

1. Основные понятия

Теория тройного интеграла аналогична теории двойного интеграла. Поэтому изложим ее в несколько сокращенном виде.

Определение.

Пусть в замкнутой области V пространства Oxyz задана непрерывная функция u =ƒ(х; у; z). Разбив область V сеткой поверхностей на n частей и выбрав в каждой из них произвольную точку М_i(х_i; y_i; z_i), составим интегральную сумму для функции ƒ(х; у; z) по области V

(здесь ∆V_i – объем элементарной области V_i). (1)

Если предел интегральной суммы существует и конечен при неограниченном увеличении числа n таким образом, что каждая «элементарная область» Vi стягивается в точку (т. е. диаметр области d_i стремится к нулю, т. е. d_i0), то его называют тройным интегралом от функции u =ƒ(х; у; z) по области V и обозначают

(или )

Таким образом, тройной интеграл определяется равенством

(2)

Здесь dv=dx dy dz - элемент объема.

Теорема (существования).

Если функция u=f(x; y; z) непрерывна в ограниченной замкнутой области V, то предел интегральной суммы (1) при n∞ и max di 0 существует и не зависит ни от способа разбиения области V на части, ни от выбора точек М_i(х_i; y_i; z_i) в них.

2. Основные свойства тройного интеграла

Тройной интеграл обладает теми же свойствами, что и двойной интеграл:

1). , линейность.

2).

3). Если область V разбить на две области V₁ и V_2, такие, что V=V₁UV2, а пересечение V₁ и V₂ состоит лишь из границы, их разделяющей, то

, аддитивность.

4). Если в области V функция f(x;y;z)0, то и . Если в области интегрирования ƒ(х;у;z)(x;y;z), то и

5). , так как в случае f(x;y;z)=1, любая интегральная сумма имеет вид и численно равна объему тела.

6). Оценка тройного интеграла:

,

где m и М - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x;y;z) в области V. А f(x;y;z) непрерывна в замкнутой области V.

7). Теорема о среднем значении: если функция f(x;y;z) непрерывна в замкнутой области V, то в этой области существует такая точка M_o(x_o;y_o;z_o), что

, где V - объем тела. f(x₀;y₀;z₀) – среднее значение функции f(x;y;z) в области V.

3. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

В декартовых координатах вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трёх определённых интегралов.

Пусть область интегрирования V является тело, ограниченное снизу поверхностью , сверху – поверхностью , причём и - непрерывные функции в замкнутой области D, являющейся проекцией тела на плоскость Оху.

Если область D ограничена линиями х=а, х=в (а<в), у=и у=, где и - непрерывные на отрезке функции, причём (см. рис.), то, переходя от двойного интеграла к повторным, получаем формулу по которой вычисляется тройной интеграл в декартовых координатах:

(3)

4. Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты

В некоторых случаях тройной интеграл проще считать не в прямоугольных, а в цилиндрических координатах. Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:

(4)

Модуль якобиана отображения равен . Таким образом, получаем, что

(5)

Здесь является элементом объема в цилиндрических координатах.

5. Выражение тройного интеграла через сферические координаты

Кроме цилиндрических можно также переходить и в сферические координаты. Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:

(6)

Модуль якобиана отображения равен . Таким образом, получаем, что

(7)

Здесь является элементом объема в сферических координатах.

6. Приложения тройных интегралов

Наименование величины	Общее выражение	Прямоугольные координаты	Цилиндрические координаты	Сферические координаты
Объем тела
Статические моменты относительно координатных плоскостей
Масса физического тела с плотностью μ
Моменты инерции геометрического тела относительно координатных плоскостей		-----------------	---------------	-----------------
Моменты инерции геометрического тела относительно координатных осей		----------------	--------------	---------------
Момент инерции геометрического тела относительно оси OZ
Координаты центра тяжести тела		------------------	-----------	-------------
Координаты центра тяжести однородного тела			—	—

Задачи.

1. Найти объём тела, ограниченного параболоидом и плоскостью .

Отв. .

2. Вычислить , где V – область, ограниченная верхней частью конуса и плоскостью . Отв. .

3. Вычислить , где V – область, ограниченная поверхностями , , .

Решение. Перейдём в интеграле к сферическим координатам по формулам (6). Тогда область интегрирования можно задать неравенствами

.

А, значит,

=…

Отв. .

Дата добавления: 2014-02-28; просмотров: 1374; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!