Вычисление площадей плоских фигур

1 случай. Функция неотрицательна и непрерывна на [a, b].

Тогда по геометрическому смыслу определённого интеграла площадь S под кривой на численно равна определённому интегралу:

2 случай. Функция неположительна и непрерывна на . Тогда площадь над кривой на равна

3 случай. Функция общего вида на . Пусть исходный отрезок можно разбить на конечное число интервалов, в каждом из которых имеет постоянный знак или равна нулю:

Тогда площадь фигуры равна

4 случай. Теорема. Пусть на заданы непрерывные функции и , Тогда площадь фигуры между кривыми и на равна

Вычисление объёмов тел вращения.

Пусть на задана непрерывная знакопостоянная функция . Найдём тела, образованного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями , , , .

Разобьем на элементарные отрезки точками и на каждом некоторым образом выберем , где Тогда приближённое значение для объёма выражается формулой:

,

где каждое слагаемое – это объём цилиндра с высотой и радиусом Это приближение тем лучше, чем меньше , поэтому перейдём к пределу

В правой части – интегральная сумма для функции , поэтому

По аналогии можно записать формулу для объёма тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, образованной линиями , , , :

Дата добавления: 2014-02-28; просмотров: 716; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!