Уравнения пассивных четырёхполюсников с коэффициентами

Решение

Способ 1. Рассматривается схема, нагруженная произвольным сопротивлением Z₂, когда напряжение U₂ и ток I₂ отличны от нуля. Полученная схема описывается системой уравнений Кирхгофа. Методом подстановки избавляются от промежуточных токов и напряжений, приводя систему уравнений к виду: U₁ = А·U₂ + В·I₂;

I₁ = С·U₂ + D ×I₂.

При произвольной нагрузке в схеме рис. 5.4,а три неизвестных тока: I₁, I₂, I_L. По первому закону Кирхгофа I₁ = I_L + I₂,

по второму закону Кирхгофа U₂ – I_L×jx_L = 0,

I₁×(r – jx_С ) + U₂ = U₁.

Из этих уравнений получаем: I₁ = I₂ + = С·U₂ + D·I₂,

откуда С = = = -j0,05 См, D = 1;

U₁ = U₂×(1 + ) + I₂×(r – jx_С ) = А·U₂ + В·I₂.

откуда А = 1 + = 1 + = 0,5 – j0,5 = 0,5 ·е ^-j·45°,

В = r – jx_С = 10 – j10 = 10 ·е ^-j·45° Ом,

Способ 2. Коэффициенты рассчитываются по уравнениям Кирхгофа для режимов холостого хода и короткого замыкания четырёхполюсника, когда основные уравнения принимают вид:

холостой ход U_1Х = А·U_2Х ; короткое замыкание U_1К = В·I_2К ;

I_1Х = С·U_2Х ; I_1К = D ·I_2К .

По схеме рис. 5.4,а, соответственно, получаем:

I_1Х = = С·U_2Х ; U_1Х = I_1Х ×(r – jx_С) + U_2Х = U_2Х ×(1 + ) = А·U_2Х ;

I_1К = I_2К = D ·I_2К ; I_1К ×(r – jx_С) = U_1К = В·I_2К = I_2К ×(r – jx_С).

Результаты расчёта коэффициентов совпали с ранее полученными.

Способ 3. Расчёт коэффициентов осуществим по сопротивлениям холостого хода и короткого замыкания четырёхполюсника (рис. 5.4,а):

Z_1Х = r – jx_С + jx_L = 10 – j10 + j20 = 10 + j10 = 10 ·е ^j·45° Ом;

Z_1К = r – jx_С = 10 – j10 = 10 ·е ^-j·45° Ом;

Z_2Х = jx_L = j20 = 20×е ^j·90° Ом;

Z_2К = = = 20 Ом.

Из основных уравнений для режимов холостого хода и короткого замыкания

Z_1Х = А/С, Z_2Х = D/С, Z_1К = В/D, Z_2К = В/А.

Выбирая любые три соотношения с учётом свойства коэффициентов

А∙D – В∙С = 1, получаем сначала один из коэффициентов, а затем через выбранные три соотношения определяем остальные коэффициенты. Например, А = = .

Комплексное число, стоящее в знаменателе, можно в показательной форме записать двояко:

1) j20 – 20 = 20 ·е ^j·135°; 2) j20 – 20 = 20 ·е ^-j·225°.

Соответственно, получаем 2 значения коэффициента А:

А₁ = е ^-j·45°; А₂ = е ^j·135°.

Коэффициент А является в общем случае комплексным числом, которое в показательной форме имеет выражение А = а·е ^ja.

Модуль коэффициента а = определяется однозначно. А для аргумента a получаем два значения:

отрицательное a = a₁= -45°, положительное a = a₂= +135°.

Отбор единственного значения a произведём на основании векторной диаграммы цепи (рис. 5.4,б) для режима холостого хода четырёхполюсника, когда U_1Х = А·U_2Х = а·е ^ja·U_2Х .

По векторной диаграмме получаем a < 0, тогда А = е ^-j·45°;

В = Z_2К∙А = е ^-j·45°×20 = 10 ·е ^-j·45° Ом;

С = = = -j0,05 См;

D = Z_2Х∙С = 20·е ^j·90°(-j0,05) = 1.

Входное сопротивление четырёхполюсника при произвольной нагрузке Z₂ :

Z₁ = = = = = = 20 Ом.

Задача 5.2. Определить коэффициенты A, B, C, D несимметричного четырёхполюсника, собран-ного по Т-схеме (рис. 5.5), если

х₁ = 40 Ом, r₂ = 10 Ом, r₀ = х₀ = 40 Ом.

Используя основные уравнения четырёхполюс-ника в форме А, определить ток I_1К на входе при закороченных выходных зажимах, если U₁ = 100 В.

Ответ: А = -j; В = -j50 Ом;

С = 0,025 – j0,025 См; D = 1,25 – j0,25; I_1К = 2,55 А.

Задача 5.3. Найти элементы матри-цы [H] несимметричного четырёхполюсни-ка, собранного по П-схеме (рис. 5.6), если: r₁ =10 Ом, r₂ =20 Ом, x₂ =20 Ом, х₃ = 40 Ом. Используя основные уравнения четырёхпо-люсника в форме [H], определить напря-жение на входе при разомкнутых выходных зажимах, если U_2X = 100 В.

Ответ: H₁₁ = 7,69 + j1,54 Ом; H₁₂ = -H₂₁ = 0,231 – j0,15;

H₂₂ = -0,0231 – j0,00962 См; U_1X = 50 B.

ЗАДАЧА 5.4. Для составления П-схемы заме-щения ЛЭП (рис. 5.7) и определения её входного сопротивления поставлены опыты холостого хода и короткого замыкания: U_1X = 30 кВ, I_1Х = 6 А, Р_1Х = 27 кВт, φ_1Х < 0; U_1К = 4,5 кВ, I_1К = 30 А, Р_1К = 69 кВт, φ_1К > 0.

Определить входное сопротивление ЛЭП Z при R_НГ = 1000 Ом, С_НГ = 10 мкФ.

Ответ: A = D = 0,9885×е ^j0,53°; B = 148,3×е ^j59,80° Ом;

C = 0,198∙10 ^-3×е ^j81,91° См; Z_1П = Z_2П = 10 ⁴×е ^–j81,64° Ом; Z_0П = 148,3×е ^j59,80° Ом;

Z_ВХ = 986×е ^–j19,75° Ом.

ЗАДАЧА 5.5. Известны уравнения А-формы четырёхполюсника:

U₁ = -j50×I₂ + 1,75×U₂;

I₁ = 0,5×I₂ – j0,0025×U₂.

Требуется получить Т-схему замещения четырёхполюсника, а также записать уравнения в Н-форме.

Ответ: Z_1T = j300 Ом, Z_2T = -j200 Ом, Z_0T = j400 Ом;

H₁₁= - j100 Ом, H₁₂ = 2, H₂₁ = -2, H₂₂ = -j0,005 См.

Задача 5.6. Определить коэффициенты A, B, C, D несимметричного четырёхполюсника рис. 5.8,а, если х_L = 80 Ом, х_C = 40 Ом, r₃ = r₄ = 40 Ом.

Дата добавления: 2014-10-10; просмотров: 530; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!